Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24 = (x + 6)$

Этап 1

Вычтем $(x + 6)$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24 - (x + 6) = 0$

Этап 2

Упростим $x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24 - (x + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24 - x - 1 \cdot 6 = 0$

Этап 2.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24 - x - 6 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $x$ из $14 x$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 13 x - 24 - 6 = 0$

Этап 2.3

Вычтем $6$ из $- 24$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 13 x - 30 = 0$

Этап 3

Разложим $x^{3} + 9 x^{2} + 13 x - 30$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Этап 3.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Этап 3.3

Подставим $- 6$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 6$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим $- 6$ в многочлен.

${(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} + 13 \cdot - 6 - 30$

Этап 3.3.2

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$- 216 + 9 {(- 6)}^{2} + 13 \cdot - 6 - 30$

Этап 3.3.3

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$- 216 + 9 \cdot 36 + 13 \cdot - 6 - 30$

Этап 3.3.4

Умножим $9$ на $36$ .

$- 216 + 324 + 13 \cdot - 6 - 30$

Этап 3.3.5

Добавим $- 216$ и $324$ .

$108 + 13 \cdot - 6 - 30$

Этап 3.3.6

Умножим $13$ на $- 6$ .

$108 - 78 - 30$

Этап 3.3.7

Вычтем $78$ из $108$ .

$30 - 30$

Этап 3.3.8

Вычтем $30$ из $30$ .

$0$

Этап 3.4

Поскольку $- 6$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 6$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 13 x - 30}{x + 6}$

Этап 3.5

Разделим $x^{3} + 9 x^{2} + 13 x - 30$ на $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$6$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$13 x$

$30$

Этап 3.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$

Этап 3.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			+	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Этап 3.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 6 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Этап 3.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Этап 3.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$

Этап 3.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$

Этап 3.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$18 x$

Этап 3.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} + 18 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$

Этап 3.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$5 x$

Этап 3.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$5 x$	-	$30$

Этап 3.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 5 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$5 x$	-	$30$

Этап 3.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$5 x$	-	$30$
							-	$5 x$	-	$30$

Этап 3.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 5 x - 30$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$5 x$	-	$30$
							+	$5 x$	+	$30$

Этап 3.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$5$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$13 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$18 x$
							-	$5 x$	-	$30$
							+	$5 x$	+	$30$
										$0$

Этап 3.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 3 x - 5$

Этап 3.6

Запишем $x^{3} + 9 x^{2} + 13 x - 30$ в виде набора множителей.

$(x + 6) (x^{2} + 3 x - 5) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 6 = 0$

$x^{2} + 3 x - 5 = 0$

Этап 5

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 6

Приравняем $x^{2} + 3 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x^{2} + 3 x - 5$ к $0$ .

$x^{2} + 3 x - 5 = 0$

Этап 6.2

Решим $x^{2} + 3 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 3$ и $c = - 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.3

Добавим $9$ и $20$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2}$

Этап 6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.3

Добавим $9$ и $20$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2}$

Этап 6.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 3 + \sqrt{29}}{2}$

Этап 6.2.4.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{29}}{2}$

Этап 6.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{29}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{29})}{2}$

Этап 6.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{29})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{29})}{2}$

Этап 6.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$

Этап 6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.3

Добавим $9$ и $20$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{29}}{2}$

Этап 6.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 3 - \sqrt{29}}{2}$

Этап 6.2.5.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{29}}{2}$

Этап 6.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{29}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{29})}{2}$

Этап 6.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (\sqrt{29})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{29})}{2}$

Этап 6.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$

Этап 6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - \sqrt{29}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 6) (x^{2} + 3 x - 5) = 0$ верно.

$x = - 6, - \frac{3 - \sqrt{29}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 6, - \frac{3 - \sqrt{29}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$

Десятичная форма:

$x = - 6, 1.19258240 \dots, - 4.19258240 \dots$