Основы мат. анализа Примеры

$2 \log_{2} (x - 8) + \log_{2} (2) = 3$

Этап 1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 \log_{2} (x - 8) + \log_{2} (2) - 3 = 0$

Этап 2

Упростим $2 \log_{2} (x - 8) + \log_{2} (2) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $2 \log_{2} (x - 8)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{2} ({(x - 8)}^{2}) + \log_{2} (2) - 3 = 0$

Этап 2.1.2

Логарифм $2$ по основанию $2$ равен $1$ .

$\log_{2} ({(x - 8)}^{2}) + 1 - 3 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\log_{2} ({(x - 8)}^{2}) - 2 = 0$

Этап 3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\log_{2} ({(x - 8)}^{2}) = 2$

Этап 4

Перепишем $\log_{2} ({(x - 8)}^{2}) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде ${(x - 8)}^{2} = 2^{2}$ .

${(x - 8)}^{2} = 2^{2}$

Этап 5.2

Поскольку экспоненты равны, основания экспонент в обеих частях уравнения должны быть равны.

$| x - 8 | = | 2 |$

Этап 5.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 8 = \pm | 2 |$

Этап 5.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$x - 8 = \pm 2$

Этап 5.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x - 8 = 2$

Этап 5.3.3.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 2 + 8$

Этап 5.3.3.2.2

Добавим $2$ и $8$ .

$x = 10$

Этап 5.3.3.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x - 8 = - 2$

Этап 5.3.3.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = - 2 + 8$

Этап 5.3.3.4.2

Добавим $- 2$ и $8$ .

$x = 6$

Этап 5.3.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 10, 6$