Основы мат. анализа Примеры

$y^{\frac{9}{2}} - 10 y^{\frac{7}{2}} + 21 y^{\frac{5}{2}} = 0$

Этап 1

Вынесем множитель $y^{\frac{5}{2}}$ из $y^{\frac{9}{2}} - 10 y^{\frac{7}{2}} + 21 y^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y^{\frac{5}{2}}$ из $y^{\frac{9}{2}}$ .

$y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{7}{2}} + 21 y^{\frac{5}{2}} = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y^{\frac{5}{2}}$ из $- 10 y^{\frac{7}{2}}$ .

$y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} + y^{\frac{5}{2}} (- 10 y^{\frac{2}{2}}) + 21 y^{\frac{5}{2}} = 0$

Этап 1.3

Вынесем множитель $y^{\frac{5}{2}}$ из $21 y^{\frac{5}{2}}$ .

$y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} + y^{\frac{5}{2}} (- 10 y^{\frac{2}{2}}) + y^{\frac{5}{2}} \cdot 21 = 0$

Этап 1.4

Вынесем множитель $y^{\frac{5}{2}}$ из $y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} + y^{\frac{5}{2}} (- 10 y^{\frac{2}{2}})$ .

$y^{\frac{5}{2}} (y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}}) + y^{\frac{5}{2}} \cdot 21 = 0$

Этап 1.5

Вынесем множитель $y^{\frac{5}{2}}$ из $y^{\frac{5}{2}} (y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}}) + y^{\frac{5}{2}} \cdot 21$ .

$y^{\frac{5}{2}} (y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}} + 21) = 0$

Этап 2

Разложим $y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}} + 21$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $21$ , а сумма — $- 10$ .

$- 7, - 3$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$y^{\frac{5}{2}} ((y^{\frac{2}{2}} - 7) (y^{\frac{2}{2}} - 3)) = 0$

Этап 3

Разделим $2$ на $2$ .

$y^{\frac{5}{2}} ((y - 7) (y^{\frac{2}{2}} - 3)) = 0$

Этап 4

Разделим $2$ на $2$ .

$y^{\frac{5}{2}} ((y - 7) (y - 3)) = 0$

Этап 5

Избавимся от ненужных скобок.

$y^{\frac{5}{2}} (y - 7) (y - 3) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y^{\frac{5}{2}} = 0$

$y - 7 = 0$

$y - 3 = 0$

Этап 7

Приравняем $y^{\frac{5}{2}}$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $y^{\frac{5}{2}}$ к $0$ .

$y^{\frac{5}{2}} = 0$

Этап 7.2

Решим $y^{\frac{5}{2}} = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{5}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 0^{\frac{2}{5}}$

Этап 7.2.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Упростим ${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 0^{\frac{2}{5}}$

Этап 7.2.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 0^{\frac{2}{5}}$

Этап 7.2.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{\frac{2}{5}}$

Этап 7.2.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{\frac{2}{5}}$

Этап 7.2.2.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = 0^{\frac{2}{5}}$

Этап 7.2.2.1.1.2

Упростим.

$y = 0^{\frac{2}{5}}$

Этап 7.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Упростим $0^{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$y = {(0^{5})}^{\frac{2}{5}}$

Этап 7.2.2.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0^{5 (\frac{2}{5})}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = 0^{5 (\frac{2}{5})}$

Этап 7.2.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y = 0^{2}$

Этап 7.2.2.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0$

Этап 8

Приравняем $y - 7$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $y - 7$ к $0$ .

$y - 7 = 0$

Этап 8.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$y = 7$

Этап 9

Приравняем $y - 3$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $y - 3$ к $0$ .

$y - 3 = 0$

Этап 9.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = 3$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $y^{\frac{5}{2}} (y - 7) (y - 3) = 0$ верно.

$y = 0, 7, 3$