Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - 20 x^{2} + 19 = 0$

Этап 1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 20 x^{2} + 19 = 0$

Этап 2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$u^{2} - 20 u + 19 = 0$

Этап 3

Разложим $u^{2} - 20 u + 19$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $19$ , а сумма — $- 20$ .

$- 19, - 1$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 19) (u - 1) = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(x^{2} - 19) (x^{2} - 1) = 0$

Этап 5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x^{2} - 19) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x^{2} - 19) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} - 19) (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} - 19 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 8

Приравняем $x^{2} - 19$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x^{2} - 19$ к $0$ .

$x^{2} - 19 = 0$

Этап 8.2

Решим $x^{2} - 19 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $19$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 19$

Этап 8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{19}$

Этап 8.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{19}$

Этап 8.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{19}$

Этап 8.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{19}, - \sqrt{19}$

Этап 9

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 9.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 10

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 10.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} - 19) (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = \sqrt{19}, - \sqrt{19}, - 1, 1$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt{19}, - \sqrt{19}, - 1, 1$

Десятичная форма:

$x = 4.35889894 \dots, - 4.35889894 \dots, - 1, 1$