Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{- 3 x^{2} + x + 12}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = \frac{- 3 x^{2} + x + 12}{x^{2} - 4}$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$- 3 x^{2} + x + 12 = 0$

Этап 1.2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.2.2

Подставим значения $a = - 3$ , $b = 1$ и $c = 12$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 12)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 3 \cdot 12}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12 \cdot 12}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.2.3.1.2.2

Умножим $12$ на $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 144}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.2.3.1.3

Добавим $1$ и $144$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.2.3.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{145}}{- 6}$

Этап 1.2.2.3.3

Упростим $\frac{- 1 \pm \sqrt{145}}{- 6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6}$

Этап 1.2.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 3 \cdot 12}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12 \cdot 12}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.2.4.1.2.2

Умножим $12$ на $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 144}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.2.4.1.3

Добавим $1$ и $144$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.2.4.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{145}}{- 6}$

Этап 1.2.2.4.3

Упростим $\frac{- 1 \pm \sqrt{145}}{- 6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6}$

Этап 1.2.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{145}}{6}$

Этап 1.2.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 3 \cdot 12}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12 \cdot 12}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.2.5.1.2.2

Умножим $12$ на $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 144}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.2.5.1.3

Добавим $1$ и $144$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.2.5.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{145}}{- 6}$

Этап 1.2.2.5.3

Упростим $\frac{- 1 \pm \sqrt{145}}{- 6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{145}}{6}$

Этап 1.2.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{145}}{6}$

Этап 1.2.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{145}}{6}, \frac{1 - \sqrt{145}}{6}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(\frac{1 + \sqrt{145}}{6}, 0), (\frac{1 - \sqrt{145}}{6}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = \frac{- 3 {(0)}^{2} + 0 + 12}{{(0)}^{2} - 4}$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{- 3 {(0)}^{2} + 0 + 12}{{(0)}^{2} - 4}$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = \frac{- 3 \cdot 0^{2} + 0 + 12}{{(0)}^{2} - 4}$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = \frac{- 3 \cdot 0^{2} + 0 + 12}{0^{2} - 4}$

Этап 2.2.4

Избавимся от скобок.

$y = \frac{- 3 {(0)}^{2} + 0 + 12}{{(0)}^{2} - 4}$

Этап 2.2.5

Упростим $\frac{- 3 {(0)}^{2} + 0 + 12}{{(0)}^{2} - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = \frac{- 3 \cdot 0 + 0 + 12}{0^{2} - 4}$

Этап 2.2.5.1.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 12}{0^{2} - 4}$

Этап 2.2.5.1.3

Добавим $0$ и $0$ .

$y = \frac{0 + 12}{0^{2} - 4}$

Этап 2.2.5.1.4

Добавим $0$ и $12$ .

$y = \frac{12}{0^{2} - 4}$

Этап 2.2.5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = \frac{12}{0 - 4}$

Этап 2.2.5.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$y = \frac{12}{- 4}$

Этап 2.2.5.3

Разделим $12$ на $- 4$ .

$y = - 3$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 3)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(\frac{1 + \sqrt{145}}{6}, 0), (\frac{1 - \sqrt{145}}{6}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 3)$

Этап 4