Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 18 y - 27 = 0$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$4 x^{2} + 9 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 - 27 = 0$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим $4 x^{2} + 9 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 - 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 x^{2} + 9 \cdot 0 - 18 \cdot 0 - 27 = 0$

Этап 1.2.1.1.2

Умножим $9$ на $0$ .

$4 x^{2} + 0 - 18 \cdot 0 - 27 = 0$

Этап 1.2.1.1.3

Умножим $- 18$ на $0$ .

$4 x^{2} + 0 + 0 - 27 = 0$

Этап 1.2.1.2

Объединим противоположные члены в $4 x^{2} + 0 + 0 - 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Добавим $4 x^{2}$ и $0$ .

$4 x^{2} + 0 - 27 = 0$

Этап 1.2.1.2.2

Добавим $4 x^{2}$ и $0$ .

$4 x^{2} - 27 = 0$

Этап 1.2.2

Добавим $27$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} = 27$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $4 x^{2} = 27$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = 27$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{27}{4}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{27}{4}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{27}{4}$

Этап 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{27}{4}}$

Этап 1.2.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{27}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{27}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$

Этап 1.2.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{4}}$

Этап 1.2.5.2.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}$

Этап 1.2.5.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Этап 1.2.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 1.2.5.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{3 \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(\frac{3 \sqrt{3}}{2}, 0), (- \frac{3 \sqrt{3}}{2}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$4 {(0)}^{2} + 9 y^{2} - 18 y - 27 = 0$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $4 {(0)}^{2} + 9 y^{2} - 18 y - 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 \cdot 0 + 9 y^{2} - 18 y - 27 = 0$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$0 + 9 y^{2} - 18 y - 27 = 0$

Этап 2.2.1.2

Добавим $0$ и $9 y^{2}$ .

$9 y^{2} - 18 y - 27 = 0$

Этап 2.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9 y^{2} - 18 y - 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 y^{2}$ .

$9 (y^{2}) - 18 y - 27 = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 18 y$ .

$9 (y^{2}) + 9 (- 2 y) - 27 = 0$

Этап 2.2.2.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 27$ .

$9 y^{2} + 9 (- 2 y) + 9 \cdot - 3 = 0$

Этап 2.2.2.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 y^{2} + 9 (- 2 y)$ .

$9 (y^{2} - 2 y) + 9 \cdot - 3 = 0$

Этап 2.2.2.1.5

Вынесем множитель $9$ из $9 (y^{2} - 2 y) + 9 \cdot - 3$ .

$9 (y^{2} - 2 y - 3) = 0$

Этап 2.2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Разложим $y^{2} - 2 y - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 2.2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$9 ((y - 3) (y + 1)) = 0$

Этап 2.2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$9 (y - 3) (y + 1) = 0$

Этап 2.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 3 = 0$

$y + 1 = 0$

Этап 2.2.4

Приравняем $y - 3$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Приравняем $y - 3$ к $0$ .

$y - 3 = 0$

Этап 2.2.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = 3$

Этап 2.2.5

Приравняем $y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Приравняем $y + 1$ к $0$ .

$y + 1 = 0$

Этап 2.2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

Этап 2.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $9 (y - 3) (y + 1) = 0$ верно.

$y = 3, - 1$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 3), (0, - 1)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(\frac{3 \sqrt{3}}{2}, 0), (- \frac{3 \sqrt{3}}{2}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 3), (0, - 1)$

Этап 4