Основы мат. анализа Примеры

$3 x^{2} - 12 x + 3 y^{2} - 30 y = 12$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$3 x^{2} - 12 x + 3 {(0)}^{2} - 30 \cdot 0 = 12$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим $3 x^{2} - 12 x + 3 {(0)}^{2} - 30 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 0 - 30 \cdot 0 = 12$

Этап 1.2.1.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 0 - 30 \cdot 0 = 12$

Этап 1.2.1.1.3

Умножим $- 30$ на $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 0 + 0 = 12$

Этап 1.2.1.2

Объединим противоположные члены в $3 x^{2} - 12 x + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Добавим $3 x^{2} - 12 x$ и $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 0 = 12$

Этап 1.2.1.2.2

Добавим $3 x^{2} - 12 x$ и $0$ .

$3 x^{2} - 12 x = 12$

Этап 1.2.2

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} - 12 x - 12 = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 12 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 12 = 0$

Этап 1.2.3.2

Вынесем множитель $3$ из $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 12 = 0$

Этап 1.2.3.3

Вынесем множитель $3$ из $- 12$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 4 = 0$

Этап 1.2.3.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 4 = 0$

Этап 1.2.3.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 4$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 4) = 0$

Этап 1.2.4

Разделим каждый член $3 (x^{2} - 4 x - 4) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Разделим каждый член $3 (x^{2} - 4 x - 4) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Разделим $x^{2} - 4 x - 4$ на $1$ .

$x^{2} - 4 x - 4 = \frac{0}{3}$

Этап 1.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Этап 1.2.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.6

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.3

Добавим $16$ и $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.7.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{2}$

Этап 1.2.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.1.3

Добавим $16$ и $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.8.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{2}$

Этап 1.2.8.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 2 + 2 \sqrt{2}$

Этап 1.2.9

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.1.3

Добавим $16$ и $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.9.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.9.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{2}$

Этап 1.2.9.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 2 - 2 \sqrt{2}$

Этап 1.2.10

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + 2 \sqrt{2}, 2 - 2 \sqrt{2}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(2 + 2 \sqrt{2}, 0), (2 - 2 \sqrt{2}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3 y^{2} - 30 y = 12$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3 y^{2} - 30 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 3 y^{2} - 30 y = 12$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$0 - 12 \cdot 0 + 3 y^{2} - 30 y = 12$

Этап 2.2.1.1.3

Умножим $- 12$ на $0$ .

$0 + 0 + 3 y^{2} - 30 y = 12$

Этап 2.2.1.2

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + 3 y^{2} - 30 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 3 y^{2} - 30 y = 12$

Этап 2.2.1.2.2

Добавим $0$ и $3 y^{2}$ .

$3 y^{2} - 30 y = 12$

Этап 2.2.2

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} - 30 y - 12 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 y^{2} - 30 y - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y^{2}$ .

$3 (y^{2}) - 30 y - 12 = 0$

Этап 2.2.3.2

Вынесем множитель $3$ из $- 30 y$ .

$3 (y^{2}) + 3 (- 10 y) - 12 = 0$

Этап 2.2.3.3

Вынесем множитель $3$ из $- 12$ .

$3 y^{2} + 3 (- 10 y) + 3 \cdot - 4 = 0$

Этап 2.2.3.4

Вынесем множитель $3$ из $3 y^{2} + 3 (- 10 y)$ .

$3 (y^{2} - 10 y) + 3 \cdot - 4 = 0$

Этап 2.2.3.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (y^{2} - 10 y) + 3 \cdot - 4$ .

$3 (y^{2} - 10 y - 4) = 0$

Этап 2.2.4

Разделим каждый член $3 (y^{2} - 10 y - 4) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Разделим каждый член $3 (y^{2} - 10 y - 4) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 (y^{2} - 10 y - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 2.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (y^{2} - 10 y - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 2.2.4.2.1.2

Разделим $y^{2} - 10 y - 4$ на $1$ .

$y^{2} - 10 y - 4 = \frac{0}{3}$

Этап 2.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$y^{2} - 10 y - 4 = 0$

Этап 2.2.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.2.6

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 10$ и $c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.3

Добавим $100$ и $16$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.4

Перепишем $116$ в виде $2^{2} \cdot 29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $116$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (29)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$

Этап 2.2.7.3

Упростим $\frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{29}$

Этап 2.2.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.8.1.3

Добавим $100$ и $16$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.8.1.4

Перепишем $116$ в виде $2^{2} \cdot 29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $116$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (29)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$

Этап 2.2.8.3

Упростим $\frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{29}$

Этап 2.2.8.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 5 + \sqrt{29}$

Этап 2.2.9

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.9.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.9.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.9.1.3

Добавим $100$ и $16$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.9.1.4

Перепишем $116$ в виде $2^{2} \cdot 29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $116$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (29)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.9.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.9.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.9.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$

Этап 2.2.9.3

Упростим $\frac{10 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{29}$

Этап 2.2.9.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 5 - \sqrt{29}$

Этап 2.2.10

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 5 + \sqrt{29}, 5 - \sqrt{29}$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 5 + \sqrt{29}), (0, 5 - \sqrt{29})$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(2 + 2 \sqrt{2}, 0), (2 - 2 \sqrt{2}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 5 + \sqrt{29}), (0, 5 - \sqrt{29})$

Этап 4