Основы мат. анализа Примеры

$\sec (\arcsin (\frac{x}{3})) = \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

Этап 1

Вычтем $\frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ из обеих частей уравнения.

$\sec (\arcsin (\frac{x}{3})) - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2

Упростим $\sec (\arcsin (\frac{x}{3})) - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{x}{3})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ . Следовательно, $\sec (\arcsin (\frac{x}{3}))$ равно $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.2.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.2.4

Умножим $\frac{3 + x}{3}$ на $\frac{3 - x}{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.2.5

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.2.6

Перепишем $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(3 + x) (3 - x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.2.6.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.2.6.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.2.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.2.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.4

Умножим $\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ на $1$ .

$\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.5

Умножим $\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ .

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.6.2

Возведем $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.6.3

Возведем $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1} {\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1 + 1}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.6.6

Перепишем ${\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}$ в виде $(3 + x) (3 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ в виде ${((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{({((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{1}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.6.6.5

Упростим.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3}{\sqrt{3^{2} - x^{2}}} = 0$

Этап 2.1.7.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3$ и $b = x$ .

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} = 0$

Этап 2.1.8

Умножим $\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ .

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - (\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}) = 0$

Этап 2.1.9

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ .

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} = 0$

Этап 2.1.9.2

Возведем $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} = 0$

Этап 2.1.9.3

Возведем $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1} {\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1}} = 0$

Этап 2.1.9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1 + 1}} = 0$

Этап 2.1.9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}} = 0$

Этап 2.1.9.6

Перепишем ${\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}$ в виде $(3 + x) (3 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ в виде ${((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{({((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 0$

Этап 2.1.9.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 0$

Этап 2.1.9.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}} = 0$

Этап 2.1.9.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}} = 0$

Этап 2.1.9.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{1}} = 0$

Этап 2.1.9.6.5

Упростим.

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} = 0$

Этап 2.2

Вычтем $\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)}$ из $\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)}$ .

$0 = 0$