Основы мат. анализа Примеры

${(4^{x})}^{2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перемножим экспоненты в ${(4^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{x \cdot 2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Этап 1.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$4^{2 x} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4^{2 x}$ в виде ${(4^{x})}^{2}$ .

${(4^{x})}^{2} - 65 \cdot 4^{x} + 64 = 0$

Этап 2.2

Пусть $u = 4^{x}$ . Подставим $u$ вместо $4^{x}$ для всех.

$u^{2} - 65 u + 64 = 0$

Этап 2.3

Разложим $u^{2} - 65 u + 64$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $64$ , а сумма — $- 65$ .

$- 64, - 1$

Этап 2.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 64) (u - 1) = 0$

Этап 2.4

Заменим все вхождения $u$ на $4^{x}$ .

$(4^{x} - 64) (4^{x} - 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

$4^{x} - 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $4^{x} - 64$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $4^{x} - 64$ к $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

Этап 4.2

Решим $4^{x} - 64 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $64$ к обеим частям уравнения.

$4^{x} = 64$

Этап 4.2.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$4^{x} = 4^{3}$

Этап 4.2.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 3$

Этап 5

Приравняем $4^{x} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $4^{x} - 1$ к $0$ .

$4^{x} - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $4^{x} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4^{x} = 1$

Этап 5.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (4^{x}) = \ln (1)$

Этап 5.2.3

Развернем $\ln (4^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (4) = \ln (1)$

Этап 5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$x \ln (4) = 0$

Этап 5.2.5

Разделим каждый член $x \ln (4) = 0$ на $\ln (4)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Разделим каждый член $x \ln (4) = 0$ на $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Этап 5.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Сократим общий множитель $\ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{0}{\ln (4)}$

Этап 5.2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (4)}$

Этап 5.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.3.1

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$x = \frac{0}{\ln (2^{2})}$

Этап 5.2.5.3.2

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$x = \frac{0}{2 \ln (2)}$

Этап 5.2.5.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$x = \frac{2 (0)}{2 \ln (2)}$

Этап 5.2.5.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \ln (2)$ .

$x = \frac{2 (0)}{2 (\ln (2))}$

Этап 5.2.5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 0}{2 \ln (2)}$

Этап 5.2.5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{0}{\ln (2)}$

Этап 5.2.5.3.4

Разделим $0$ на $\ln (2)$ .

$x = 0$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4^{x} - 64) (4^{x} - 1) = 0$ верно.

$x = 3, 0$