Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - 5 = \sqrt{3} x$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{3} x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 5 - \sqrt{3} x = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - \sqrt{3}$ и $c = - 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Умножим ${\sqrt{3}}^{2}$ на $1$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.5

Найдем экспоненту.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5.2

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6

Добавим $3$ и $20$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{23}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{23}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 3.26394116 \dots, - 1.53189035 \dots$