Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + (2 \sqrt{5}) x + 5 = 0$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $2 \sqrt{5}$ на $x$ .

$x^{2} + 2 \sqrt{5} x + 5 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2 \sqrt{5}$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 \cdot 5 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3.5

Найдем экспоненту.

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4 \cdot 5 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Умножим $4$ на $5$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{20 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{20 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{20 - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6

Вычтем $20$ из $20$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{- 2 \sqrt{5} \pm 0}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.9

$- 2 \sqrt{5}$ plus or minus $0$ is $- 2 \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{5}$ .

$x = \frac{2 (- \sqrt{5})}{2}$

Этап 4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x = \frac{2 (- \sqrt{5})}{2 (1)}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 (- \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- \sqrt{5}}{1}$

Этап 4.3.2.4

Разделим $- \sqrt{5}$ на $1$ .

$x = - \sqrt{5}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

Двойные корни $x = - \sqrt{5}$