Основы мат. анализа Примеры

$6 x^{2} - 7 x - 20$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{6}, \pm 10, \pm \frac{10}{3}, \pm 20, \pm \frac{20}{3}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$6 {(\frac{5}{2})}^{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = \frac{5}{2}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$6 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Этап 4.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$6 \frac{25}{2^{2}} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Этап 4.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$6 (\frac{25}{4}) - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) \frac{25}{4} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Этап 4.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \cdot 3 \frac{25}{2 \cdot 2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Этап 4.1.4.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{25}{2 \cdot 2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Этап 4.1.4.4

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{25}{2}) - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Этап 4.1.5

Объединим $3$ и $\frac{25}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 25}{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Этап 4.1.6

Умножим $3$ на $25$ .

$\frac{75}{2} - 7 (\frac{5}{2}) - 20$

Этап 4.1.7

Умножим $- 7 (\frac{5}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Объединим $- 7$ и $\frac{5}{2}$ .

$\frac{75}{2} + \frac{- 7 \cdot 5}{2} - 20$

Этап 4.1.7.2

Умножим $- 7$ на $5$ .

$\frac{75}{2} + \frac{- 35}{2} - 20$

Этап 4.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{75}{2} - \frac{35}{2} - 20$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 20 + \frac{75 - 35}{2}$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $35$ из $75$ .

$- 20 + \frac{40}{2}$

Этап 4.2.2.2

Разделим $40$ на $2$ .

$- 20 + 20$

Этап 4.2.2.3

Добавим $- 20$ и $20$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $\frac{5}{2}$ — известный корень, разделим многочлен на $x - \frac{5}{2}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{6 x^{2} - 7 x - 20}{x - \frac{5}{2}}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(6)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$

	$6$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(6)$ на делитель $(\frac{5}{2})$ и запишем их произведение $(15)$ под следующим членом делимого $(- 7)$ .

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$
	$6$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$
	$6$	$8$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(8)$ на делитель $(\frac{5}{2})$ и запишем их произведение $(20)$ под следующим членом делимого $(- 20)$ .

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$	$20$
	$6$	$8$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{5}{2}$	$6$	$- 7$	$- 20$
		$15$	$20$
	$6$	$8$	$0$

Этап 6.7

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$(6) x + 8$

Этап 6.8

Упростим частное многочленов.

$6 x + 8$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $6 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x) + 8)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x) + 2 (4))$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x) + 2 (4)$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (3 x + 4))$

Этап 8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot - 20 = - 120$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 x$ .

$6 x^{2} - 7 x - 20 = 0$

Этап 8.1.2

Запишем $- 7$ как $8$ плюс $- 15$

$6 x^{2} + (8 - 15) x - 20 = 0$

Этап 8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 8 x - 15 x - 20 = 0$

Этап 8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(6 x^{2} + 8 x) - 15 x - 20 = 0$

Этап 8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (3 x + 4) - 5 (3 x + 4) = 0$

Этап 8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (2 x - 5) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Этап 10

Приравняем $3 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $3 x + 4$ к $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Этап 10.2

Решим $3 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 4$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{3}$

Этап 11

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Этап 11.2

Решим $2 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5$

Этап 11.2.2

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 11.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 11.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 4) (2 x - 5) = 0$ верно.

$x = - \frac{4}{3}, \frac{5}{2}$

Этап 13