Основы мат. анализа Примеры

$- 4 x^{2} + 4 x - 1$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$- 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = \frac{1}{2}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$- 4 \frac{1}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 4 (\frac{1}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.4.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot - 1 \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.4.3

Перепишем это выражение.

$- 1 + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 1 + 2 (2) \frac{1}{2} - 1$

Этап 4.1.5.2

Сократим общий множитель.

$- 1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 1$

Этап 4.1.5.3

Перепишем это выражение.

$- 1 + 2 - 1$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $- 1$ и $2$ .

$1 - 1$

Этап 4.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — известный корень, разделим многочлен на $x - \frac{1}{2}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- 4 x^{2} + 4 x - 1}{x - \frac{1}{2}}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(- 4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

	$- 4$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(- 4)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(4)$ .

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$	$2$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$	$0$

Этап 6.7

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$(- 4) x + 2$

Этап 6.8

Упростим частное многочленов.

$- 4 x + 2$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2 (1))$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x) + 2 (1)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x + 1))$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x^{2} + 4 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x^{2}$ .

$- (4 x^{2}) + 4 x - 1 = 0$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $4 x$ .

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 = 0$

Этап 8.1.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 8.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2}) - (- 4 x)$ .

$- (4 x^{2} - 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 8.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2} - 4 x) - 1 (1)$ .

$- (4 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Этап 8.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1) = 0$

Этап 8.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1^{2}) = 0$

Этап 8.2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Этап 8.2.4

Перепишем многочлен.

$- ({(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 8.2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 2 x$ и $b = 1$ .

$- {(2 x - 1)}^{2} = 0$

Этап 9

Разделим каждый член $- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- {(2 x - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 9.2.2

Разделим ${(2 x - 1)}^{2}$ на $1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

Этап 10

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 11

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 11.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 11.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 11.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 12