Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{4} - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 8, \pm 14, \pm 28, \pm 56$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{4}, \pm 8, \pm 14, \pm 28, \pm 56$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$4 {(2)}^{4} - 22 {(2)}^{3} + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$4 \cdot 16 - 22 {(2)}^{3} + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Этап 4.1.2

Умножим $4$ на $16$ .

$64 - 22 {(2)}^{3} + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Этап 4.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$64 - 22 \cdot 8 + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Этап 4.1.4

Умножим $- 22$ на $8$ .

$64 - 176 + 36 {(2)}^{2} - 44 \cdot 2 + 56$

Этап 4.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$64 - 176 + 36 \cdot 4 - 44 \cdot 2 + 56$

Этап 4.1.6

Умножим $36$ на $4$ .

$64 - 176 + 144 - 44 \cdot 2 + 56$

Этап 4.1.7

Умножим $- 44$ на $2$ .

$64 - 176 + 144 - 88 + 56$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $176$ из $64$ .

$- 112 + 144 - 88 + 56$

Этап 4.2.2

Добавим $- 112$ и $144$ .

$32 - 88 + 56$

Этап 4.2.3

Вычтем $88$ из $32$ .

$- 56 + 56$

Этап 4.2.4

Добавим $- 56$ и $56$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{4} - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56}{x - 2}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$

	$4$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(8)$ под следующим членом делимого $(- 22)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$
	$4$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$
	$4$	$- 14$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 14)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(- 28)$ под следующим членом делимого $(36)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$
	$4$	$- 14$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$
	$4$	$- 14$	$8$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(8)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(16)$ под следующим членом делимого $(- 44)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$
	$4$	$- 14$	$8$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 28)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(- 56)$ под следующим членом делимого $(56)$ .

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$	$- 56$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$4$	$- 22$	$36$	$- 44$	$56$
		$8$	$- 28$	$16$	$- 56$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$4 x^{3} + - 14 x^{2} + (8) x - 28$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$4 x^{3} - 14 x^{2} + 8 x - 28$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3} - 14 x^{2} + 8 x - 28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) - 14 x^{2} + 8 x - 28)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 14 x^{2}$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 8 x - 28)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $8 x$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (4 x) - 28)$

Этап 7.4

Вынесем множитель $2$ из $- 28$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 14))$

Этап 7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2})$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 14))$

Этап 7.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3} - 7 x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x) + 2 (- 14))$

Этап 7.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x) + 2 (- 14)$ .

$(x - 2) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x - 14))$

Этап 8

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 2) (2 ((2 x^{3} - 7 x^{2}) + 4 x - 14))$

Этап 8.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 2) (2 (x^{2} (2 x - 7) + 2 (2 x - 7)))$

Этап 9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 7$ .

$(x - 2) (2 ((2 x - 7) (x^{2} + 2)))$

Этап 9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 2) (2 (2 x - 7) (x^{2} + 2))$

Этап 10

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{4} - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{4}$ .

$2 (2 x^{4}) - 22 x^{3} + 36 x^{2} - 44 x + 56 = 0$

Этап 10.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 22 x^{3}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 36 x^{2} - 44 x + 56 = 0$

Этап 10.1.3

Вынесем множитель $2$ из $36 x^{2}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) - 44 x + 56 = 0$

Этап 10.1.4

Вынесем множитель $2$ из $- 44 x$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 56 = 0$

Этап 10.1.5

Вынесем множитель $2$ из $56$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (28) = 0$

Этап 10.1.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{4}) + 2 (- 11 x^{3})$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (28) = 0$

Этап 10.1.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{4} - 11 x^{3}) + 2 (18 x^{2})$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2}) + 2 (- 22 x) + 2 (28) = 0$

Этап 10.1.8

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2}) + 2 (- 22 x)$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x) + 2 (28) = 0$

Этап 10.1.9

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x) + 2 (28)$ .

$2 (2 x^{4} - 11 x^{3} + 18 x^{2} - 22 x + 28) = 0$

Этап 10.2

Перегруппируем члены.

$2 (- 11 x^{3} - 22 x + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Этап 10.3

Вынесем множитель $- 11 x$ из $- 11 x^{3} - 22 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $- 11 x$ из $- 11 x^{3}$ .

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 22 x + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Этап 10.3.2

Вынесем множитель $- 11 x$ из $- 22 x$ .

$2 (- 11 x \cdot x^{2} - 11 x \cdot 2 + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Этап 10.3.3

Вынесем множитель $- 11 x$ из $- 11 x (x^{2}) - 11 x (2)$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 18 x^{2} + 28) = 0$

Этап 10.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4} + 18 x^{2} + 28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4}) + 18 x^{2} + 28) = 0$

Этап 10.4.2

Вынесем множитель $2$ из $18 x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4}) + 2 (9 x^{2}) + 28) = 0$

Этап 10.4.3

Вынесем множитель $2$ из $28$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 2 (9 x^{2}) + 2 \cdot 14) = 0$

Этап 10.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4} + 2 (9 x^{2})$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4} + 9 x^{2}) + 2 \cdot 14) = 0$

Этап 10.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{4} + 9 x^{2}) + 2 \cdot 14$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{4} + 9 x^{2} + 14)) = 0$

Этап 10.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ({(x^{2})}^{2} + 9 x^{2} + 14)) = 0$

Этап 10.6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (u^{2} + 9 u + 14)) = 0$

Этап 10.7

Разложим $u^{2} + 9 u + 14$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $14$ , а сумма — $9$ .

$2, 7$

Этап 10.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ((u + 2) (u + 7))) = 0$

Этап 10.8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 ((x^{2} + 2) (x^{2} + 7))) = 0$

Этап 10.8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)) = 0$

Этап 10.9

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $- 11 x (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $- 11 x (x^{2} + 2)$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x) + 2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)) = 0$

Этап 10.9.2

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $2 (x^{2} + 2) (x^{2} + 7)$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 7))) = 0$

Этап 10.9.3

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $(x^{2} + 2) (- 11 x) + (x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 7))$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 (x^{2} + 7))) = 0$

Этап 10.10

Применим свойство дистрибутивности.

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 2 \cdot 7)) = 0$

Этап 10.11

Умножим $2$ на $7$ .

$2 ((x^{2} + 2) (- 11 x + 2 x^{2} + 14)) = 0$

Этап 10.12

Изменим порядок членов.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} - 11 x + 14)) = 0$

Этап 10.13

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.13.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.13.1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.13.1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 14 = 28$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.13.1.1.1.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 x$ .

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} - 11 x + 14)) = 0$

Этап 10.13.1.1.1.2

Запишем $- 11$ как $- 4$ плюс $- 7$

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} + (- 4 - 7) x + 14)) = 0$

Этап 10.13.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x^{2} - 4 x - 7 x + 14)) = 0$

Этап 10.13.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.13.1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 ((x^{2} + 2) ((2 x^{2} - 4 x) - 7 x + 14)) = 0$

Этап 10.13.1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 ((x^{2} + 2) (2 x (x - 2) - 7 (x - 2))) = 0$

Этап 10.13.1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 2$ .

$2 ((x^{2} + 2) ((x - 2) (2 x - 7))) = 0$

Этап 10.13.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 ((x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7)) = 0$

Этап 10.13.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7) = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$2 x - 7 = 0$

Этап 12

Приравняем $x^{2} + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x^{2} + 2$ к $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Этап 12.2

Решим $x^{2} + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 2$

Этап 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Этап 12.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Этап 12.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (2)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Этап 12.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Этап 12.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{2}$

Этап 12.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{2}$

Этап 12.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 13

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 13.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 14

Приравняем $2 x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем $2 x - 7$ к $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Этап 14.2

Решим $2 x - 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 7$

Этап 14.2.2

Разделим каждый член $2 x = 7$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 7$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Этап 14.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Этап 14.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Этап 15

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x^{2} + 2) (x - 2) (2 x - 7) = 0$ верно.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, 2, \frac{7}{2}$

Этап 16