Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{5} - 8 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + x - 2$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$4 {(1)}^{5} - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Избавимся от скобок.

$4 {(1)}^{5} - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$4 \cdot 1 - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Этап 4.2.2

Умножим $4$ на $1$ .

$4 - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Этап 4.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$4 - 8 \cdot 1 - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Этап 4.2.4

Умножим $- 8$ на $1$ .

$4 - 8 - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Этап 4.2.5

Единица в любой степени равна единице.

$4 - 8 - 5 \cdot 1 + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Этап 4.2.6

Умножим $- 5$ на $1$ .

$4 - 8 - 5 + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

Этап 4.2.7

Единица в любой степени равна единице.

$4 - 8 - 5 + 10 \cdot 1 + 1 - 2$

Этап 4.2.8

Умножим $10$ на $1$ .

$4 - 8 - 5 + 10 + 1 - 2$

Этап 4.3

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $8$ из $4$ .

$- 4 - 5 + 10 + 1 - 2$

Этап 4.3.2

Вычтем $5$ из $- 4$ .

$- 9 + 10 + 1 - 2$

Этап 4.3.3

Добавим $- 9$ и $10$ .

$1 + 1 - 2$

Этап 4.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 - 2$

Этап 4.3.5

Вычтем $2$ из $2$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{5} - 8 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + x - 2}{x - 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$

	$4$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(4)$ под следующим членом делимого $(- 8)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$
	$4$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$
	$4$	$- 4$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 4)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(- 4)$ под следующим членом делимого $(- 5)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$
	$4$	$- 4$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$
	$4$	$- 4$	$- 9$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 9)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(- 9)$ под следующим членом делимого $(10)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$
	$4$	$- 4$	$- 9$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(1)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$

Этап 6.11

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(- 2)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$

Этап 6.12

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$	$0$

Этап 6.13

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$4 x^{4} + - 4 x^{3} - 9 x^{2} + 1 x + 2$

Этап 6.14

Упростим частное многочленов.

$4 x^{4} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + x + 2$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перегруппируем члены.

$- 4 x^{3} + x + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $- x$ из $- 4 x^{3} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $- x$ из $- 4 x^{3}$ .

$- x (4 x^{2}) + x + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Этап 7.1.2.2

Перепишем $x$ в виде $1 x$ .

$- x (4 x^{2}) + 1 x + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Этап 7.1.2.3

Вынесем множитель $- x$ из $1 x$ .

$- x (4 x^{2}) - x \cdot - 1 + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Этап 7.1.2.4

Вынесем множитель $- x$ из $- x (4 x^{2}) - x (- 1)$ .

$- x (4 x^{2} - 1) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Этап 7.1.3

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$- x ({(2 x)}^{2} - 1) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Этап 7.1.4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- x ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Этап 7.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x$ и $b = 1$ .

$- x ((2 x + 1) (2 x - 1)) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Этап 7.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Этап 7.1.6

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 {(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} + 2 = 0$

Этап 7.1.7

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Этап 7.1.8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 2 = 8$ , а сумма — $b = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.8.1.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 u$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Этап 7.1.8.1.2

Запишем $- 9$ как $- 1$ плюс $- 8$

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + (- 1 - 8) u + 2 = 0$

Этап 7.1.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

Этап 7.1.8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

Этап 7.1.8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + u (4 u - 1) - 2 (4 u - 1) = 0$

Этап 7.1.8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u - 1$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 u - 1) (u - 2) = 0$

Этап 7.1.9

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 7.1.10

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 7.1.11

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 7.1.12

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 7.1.13

Вынесем множитель $(2 x + 1) (2 x - 1)$ из $- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.13.1

Вынесем множитель $(2 x + 1) (2 x - 1)$ из $- x (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 7.1.13.2

Вынесем множитель $(2 x + 1) (2 x - 1)$ из $(2 x + 1) (2 x - 1) (- x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2)$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- x + x^{2} - 2) = 0$

Этап 7.1.14

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- u + u^{2} - 2) = 0$

Этап 7.1.15

Разложим $- u + u^{2} - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.15.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 7.1.15.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Этап 7.1.16

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.16.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Этап 7.1.16.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 2) (x + 1) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 7.3.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 7.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 7.4

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 7.4.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 7.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 7.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 7.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 7.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 2) (x + 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2, - 1$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x - 1) (x + \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{2}) (x - 2) (x + 1)$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $4 x^{5} - 8 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + x - 2$ .

$x = 1, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2, - 1$

Этап 10