Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{4} + x^{3} - 17 x^{2} - 4 x + 6$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$2 {(\frac{1}{2})}^{4} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = \frac{1}{2}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Этап 4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{1}{2^{4}} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Этап 4.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Этап 4.1.4.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Этап 4.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Этап 4.1.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{1^{3}}{2^{3}} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Этап 4.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{8} + \frac{1}{2^{3}} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Этап 4.1.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - 17 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Этап 4.1.8

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - 17 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Этап 4.1.9

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - 17 \frac{1}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Этап 4.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - 17 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Этап 4.1.11

Объединим $- 17$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{- 17}{4} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Этап 4.1.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{17}{4} - 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Этап 4.1.13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{17}{4} + 2 (- 2) \frac{1}{2} + 6$

Этап 4.1.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{17}{4} + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} + 6$

Этап 4.1.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{17}{4} - 2 + 6$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 + 6 + \frac{1 + 1}{8} + \frac{- 17}{4}$

Этап 4.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 + 6 + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

Этап 4.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Запишем $- 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 2}{1} + 6 + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{8}{8} + 6 + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

Этап 4.3.3

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + 6 + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

Этап 4.3.4

Запишем $6$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6}{1} + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{6}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

Этап 4.3.6

Умножим $\frac{6}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4}$

Этап 4.3.7

Умножим $\frac{- 17}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{2}{8} + \frac{- 17}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.3.8

Умножим $\frac{- 17}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{2}{8} + \frac{- 17 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Этап 4.3.9

Изменим порядок множителей в $4 \cdot 2$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{2}{8} + \frac{- 17 \cdot 2}{2 \cdot 4}$

Этап 4.3.10

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{2}{8} + \frac{- 17 \cdot 2}{8}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 \cdot 8 + 6 \cdot 8 + 2 - 17 \cdot 2}{8}$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 2$ на $8$ .

$\frac{- 16 + 6 \cdot 8 + 2 - 17 \cdot 2}{8}$

Этап 4.5.2

Умножим $6$ на $8$ .

$\frac{- 16 + 48 + 2 - 17 \cdot 2}{8}$

Этап 4.5.3

Умножим $- 17$ на $2$ .

$\frac{- 16 + 48 + 2 - 34}{8}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $- 16$ и $48$ .

$\frac{32 + 2 - 34}{8}$

Этап 4.6.2

Добавим $32$ и $2$ .

$\frac{34 - 34}{8}$

Этап 4.6.3

Вычтем $34$ из $34$ .

$\frac{0}{8}$

Этап 4.6.4

Разделим $0$ на $8$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — известный корень, разделим многочлен на $x - \frac{1}{2}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{4} + x^{3} - 17 x^{2} - 4 x + 6}{x - \frac{1}{2}}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(1)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$
	$2$	$2$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(- 17)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$	$1$
	$2$	$2$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$	$1$
	$2$	$2$	$- 16$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 16)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 8)$ под следующим членом делимого $(- 4)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$	$1$	$- 8$
	$2$	$2$	$- 16$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$	$1$	$- 8$
	$2$	$2$	$- 16$	$- 12$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 12)$ на делитель $(\frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 6)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$	$1$	$- 8$	$- 6$
	$2$	$2$	$- 16$	$- 12$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{1}{2}$	$2$	$1$	$- 17$	$- 4$	$6$
		$1$	$1$	$- 8$	$- 6$
	$2$	$2$	$- 16$	$- 12$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{3} + 2 x^{2} + (- 16) x - 12$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$2 x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 12$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 x^{2} - 16 x - 12)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (x^{2}) - 16 x - 12)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $- 16 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (- 8 x) - 12)$

Этап 7.4

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot - 6)$

Этап 7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3}) + 2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2 \cdot - 6)$

Этап 7.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3} + x^{2}) + 2 (- 8 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 2 \cdot - 6)$

Этап 7.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 2 \cdot - 6$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + x^{2} - 8 x - 6))$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим $2 x^{4} + x^{3} - 17 x^{2} - 4 x + 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 8.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Этап 8.1.3

Подставим $0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Подставим $0.5$ в многочлен.

$2 \cdot {0.5}^{4} + {0.5}^{3} - 17 \cdot {0.5}^{2} - 4 \cdot 0.5 + 6$

Этап 8.1.3.2

Возведем $0.5$ в степень $4$ .

$2 \cdot 0.0625 + {0.5}^{3} - 17 \cdot {0.5}^{2} - 4 \cdot 0.5 + 6$

Этап 8.1.3.3

Умножим $2$ на $0.0625$ .

$0.125 + {0.5}^{3} - 17 \cdot {0.5}^{2} - 4 \cdot 0.5 + 6$

Этап 8.1.3.4

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$0.125 + 0.125 - 17 \cdot {0.5}^{2} - 4 \cdot 0.5 + 6$

Этап 8.1.3.5

Добавим $0.125$ и $0.125$ .

$0.25 - 17 \cdot {0.5}^{2} - 4 \cdot 0.5 + 6$

Этап 8.1.3.6

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$0.25 - 17 \cdot 0.25 - 4 \cdot 0.5 + 6$

Этап 8.1.3.7

Умножим $- 17$ на $0.25$ .

$0.25 - 4.25 - 4 \cdot 0.5 + 6$

Этап 8.1.3.8

Вычтем $4.25$ из $0.25$ .

$- 4 - 4 \cdot 0.5 + 6$

Этап 8.1.3.9

Умножим $- 4$ на $0.5$ .

$- 4 - 2 + 6$

Этап 8.1.3.10

Вычтем $2$ из $- 4$ .

$- 6 + 6$

Этап 8.1.3.11

Добавим $- 6$ и $6$ .

$0$

Этап 8.1.4

Поскольку $0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{4} + x^{3} - 17 x^{2} - 4 x + 6}{2 x - 1}$

Этап 8.1.5

Разделим $2 x^{4} + x^{3} - 17 x^{2} - 4 x + 6$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

Этап 8.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

Этап 8.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

Этап 8.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{4} - x^{3}$ .

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

Этап 8.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

Этап 8.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

Этап 8.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

Этап 8.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

Этап 8.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

Этап 8.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

Этап 8.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

Этап 8.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 16 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

Этап 8.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

Этап 8.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 16 x^{2} + 8 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

Этап 8.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

Этап 8.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$6$

Этап 8.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$6$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$6$

Этап 8.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$6$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$6$

$12 x$

$6$

Этап 8.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x + 6$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$6$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$6$

$12 x$

$6$

Этап 8.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$6$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$17 x^{2}$

$4 x$

$6$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$17 x^{2}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$16 x^{2}$

$4 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$6$

$12 x$

$6$

$0$

Этап 8.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} + x^{2} - 8 x - 6$

Этап 8.1.6

Запишем $2 x^{4} + x^{3} - 17 x^{2} - 4 x + 6$ в виде набора множителей.

$(2 x - 1) (x^{3} + x^{2} - 8 x - 6) = 0$

Этап 8.2

Разложим $x^{3} + x^{2} - 8 x - 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разложим $x^{3} + x^{2} - 8 x - 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 8.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Этап 8.2.1.3

Подставим $- 3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.3.1

Подставим $- 3$ в многочлен.

${(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{2} - 8 \cdot - 3 - 6$

Этап 8.2.1.3.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$- 27 + {(- 3)}^{2} - 8 \cdot - 3 - 6$

Этап 8.2.1.3.3

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- 27 + 9 - 8 \cdot - 3 - 6$

Этап 8.2.1.3.4

Добавим $- 27$ и $9$ .

$- 18 - 8 \cdot - 3 - 6$

Этап 8.2.1.3.5

Умножим $- 8$ на $- 3$ .

$- 18 + 24 - 6$

Этап 8.2.1.3.6

Добавим $- 18$ и $24$ .

$6 - 6$

Этап 8.2.1.3.7

Вычтем $6$ из $6$ .

$0$

Этап 8.2.1.4

Поскольку $- 3$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x - 6}{x + 3}$

Этап 8.2.1.5

Разделим $x^{3} + x^{2} - 8 x - 6$ на $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.5.1

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$6$

Этап 8.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$

Этап 8.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 8.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 8.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 8.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 8.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 8.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 8.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} - 6 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 8.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$2 x$

Этап 8.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$2 x$	-	$6$

Этап 8.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$2 x$	-	$6$

Этап 8.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$2 x$	-	$6$
							-	$2 x$	-	$6$

Этап 8.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x - 6$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$2 x$	-	$6$
							+	$2 x$	+	$6$

Этап 8.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$2 x$	-	$6$
							+	$2 x$	+	$6$
										$0$

Этап 8.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 2 x - 2$

Этап 8.2.1.6

Запишем $x^{3} + x^{2} - 8 x - 6$ в виде набора множителей.

$(2 x - 1) ((x + 3) (x^{2} - 2 x - 2)) = 0$

Этап 8.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x - 1) (x + 3) (x^{2} - 2 x - 2) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Этап 10

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 10.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 11

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 11.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 12

Приравняем $x^{2} - 2 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x^{2} - 2 x - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Этап 12.2

Решим $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 12.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.1.3

Добавим $4$ и $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 12.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Этап 12.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.4.1.3

Добавим $4$ и $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.4.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 12.2.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Этап 12.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + \sqrt{3}$

Этап 12.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.5.1.3

Добавим $4$ и $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.5.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 12.2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Этап 12.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - \sqrt{3}$

Этап 12.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (x + 3) (x^{2} - 2 x - 2) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, - 3, 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{2}, - 3, 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$x = 0.5, - 3, 2.73205080 \dots, - 0.73205080 \dots$

Этап 15