Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{4} - x^{3} - 19 x^{2} + 9 x + 9$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$2 {(1)}^{4} - {(1)}^{3} - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$2 \cdot 1 - {(1)}^{3} - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

Этап 4.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - {(1)}^{3} - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

Этап 4.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 - 1 \cdot 1 - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

Этап 4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 - 1 - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

Этап 4.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$2 - 1 - 19 \cdot 1 + 9 (1) + 9$

Этап 4.1.6

Умножим $- 19$ на $1$ .

$2 - 1 - 19 + 9 (1) + 9$

Этап 4.1.7

Умножим $9$ на $1$ .

$2 - 1 - 19 + 9 + 9$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$1 - 19 + 9 + 9$

Этап 4.2.2

Вычтем $19$ из $1$ .

$- 18 + 9 + 9$

Этап 4.2.3

Добавим $- 18$ и $9$ .

$- 9 + 9$

Этап 4.2.4

Добавим $- 9$ и $9$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{4} - x^{3} - 19 x^{2} + 9 x + 9}{x - 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$
	$2$	$1$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(- 19)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$
	$2$	$1$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$
	$2$	$1$	$- 18$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 18)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(- 18)$ под следующим членом делимого $(9)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$	$- 18$
	$2$	$1$	$- 18$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$	$- 18$
	$2$	$1$	$- 18$	$- 9$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 9)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(- 9)$ под следующим членом делимого $(9)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$	$- 18$	$- 9$
	$2$	$1$	$- 18$	$- 9$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$	$- 18$	$- 9$
	$2$	$1$	$- 18$	$- 9$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{3} + 1 x^{2} + (- 18) x - 9$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$2 x^{3} + x^{2} - 18 x - 9$

Этап 7

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 1) (2 x^{3} + x^{2}) - 18 x - 9$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 1) + x^{2} (2 x + 1) - 9 (2 x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (2 x + 1) - 9 (2 x + 1)$

Этап 8

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} - 9)$

Этап 9

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} - 3^{2})$

Этап 10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$(x - 1) + (2 x + 1) ((x + 3) (x - 3))$

Этап 10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) + (2 x + 1) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 1) (2 x + 1) (x + 3) (x - 3)$

Этап 11

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перегруппируем члены.

$- x^{3} + 9 x + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Этап 11.2

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3} + 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 9 x + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Этап 11.2.2

Вынесем множитель $- x$ из $9 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 9 + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Этап 11.2.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x^{2}) - x (- 9)$ .

$- x (x^{2} - 9) + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Этап 11.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- x (x^{2} - 3^{2}) + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Этап 11.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

$- x ((x + 3) (x - 3)) + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Этап 11.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Этап 11.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 {(x^{2})}^{2} - 19 x^{2} + 9 = 0$

Этап 11.6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 19 u + 9 = 0$

Этап 11.7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ , а сумма — $b = - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1.1

Вынесем множитель $- 19$ из $- 19 u$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 19 u + 9 = 0$

Этап 11.7.1.2

Запишем $- 19$ как $- 1$ плюс $- 18$

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} + (- 1 - 18) u + 9 = 0$

Этап 11.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 1 u - 18 u + 9 = 0$

Этап 11.7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 1 u - 18 u + 9 = 0$

Этап 11.7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- x (x + 3) (x - 3) + u (2 u - 1) - 9 (2 u - 1) = 0$

Этап 11.7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 u - 1) (u - 9) = 0$

Этап 11.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 9) = 0$

Этап 11.9

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Этап 11.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.1

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Этап 11.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 11.11

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.11.1

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $- x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 11.11.2

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(2 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 1) = 0$

Этап 11.11.3

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

Этап 11.12

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x + 3) (x - 3) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

Этап 11.13

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.13.1

Изменим порядок членов.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Этап 11.13.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.13.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Этап 11.13.2.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Этап 11.13.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Этап 11.13.2.4

Умножим $u$ на $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Этап 11.13.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.13.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 3) (x - 3) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

Этап 11.13.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 3) (x - 3) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Этап 11.13.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Этап 11.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.14.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 11.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 3) (x - 3) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 12

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 13

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 13.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 14

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 14.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 15

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 15.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 15.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 15.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 15.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 15.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 16

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 16.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 17

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x - 3) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - 3, 3, - \frac{1}{2}, 1$

Этап 18