Основы мат. анализа Примеры

$x^{6} - 64$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(2)}^{6} - 64$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $2$ в степень $6$ .

$64 - 64$

Этап 4.2

Вычтем $64$ из $64$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{6} - 64}{x - 2}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$
	$1$	$2$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(4)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$
	$1$	$2$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$
	$1$	$2$	$4$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(8)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$	$8$
	$1$	$2$	$4$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$	$8$
	$1$	$2$	$4$	$8$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(8)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(16)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$	$8$	$16$
	$1$	$2$	$4$	$8$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$	$8$	$16$
	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$

Этап 6.11

Умножим последний элемент в области результата $(16)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(32)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$	$8$	$16$	$32$
	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$

Этап 6.12

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$	$8$	$16$	$32$
	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$

Этап 6.13

Умножим последний элемент в области результата $(32)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(64)$ под следующим членом делимого $(- 64)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$64$
	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$

Этап 6.14

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$- 64$
		$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$64$
	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$0$

Этап 6.15

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{5} + 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + (16) x + 32$

Этап 6.16

Упростим частное многочленов.

$x^{5} + 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x + 32$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{5} + 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x + 32 = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{5} + 2 x^{4} + 4 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{5}$ .

$x^{3} x^{2} + 2 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x + 32 = 0$

Этап 7.1.2.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $2 x^{4}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} (2 x) + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x + 32 = 0$

Этап 7.1.2.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot 4 + 8 x^{2} + 16 x + 32 = 0$

Этап 7.1.2.4

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} x^{2} + x^{3} (2 x)$ .

$x^{3} (x^{2} + 2 x) + x^{3} \cdot 4 + 8 x^{2} + 16 x + 32 = 0$

Этап 7.1.2.5

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (x^{2} + 2 x) + x^{3} \cdot 4$ .

$x^{3} (x^{2} + 2 x + 4) + 8 x^{2} + 16 x + 32 = 0$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $8$ из $8 x^{2} + 16 x + 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x^{2}$ .

$x^{3} (x^{2} + 2 x + 4) + 8 (x^{2}) + 16 x + 32 = 0$

Этап 7.1.3.2

Вынесем множитель $8$ из $16 x$ .

$x^{3} (x^{2} + 2 x + 4) + 8 (x^{2}) + 8 (2 x) + 32 = 0$

Этап 7.1.3.3

Вынесем множитель $8$ из $32$ .

$x^{3} (x^{2} + 2 x + 4) + 8 x^{2} + 8 (2 x) + 8 \cdot 4 = 0$

Этап 7.1.3.4

Вынесем множитель $8$ из $8 x^{2} + 8 (2 x)$ .

$x^{3} (x^{2} + 2 x + 4) + 8 (x^{2} + 2 x) + 8 \cdot 4 = 0$

Этап 7.1.3.5

Вынесем множитель $8$ из $8 (x^{2} + 2 x) + 8 \cdot 4$ .

$x^{3} (x^{2} + 2 x + 4) + 8 (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Этап 7.1.4

Вынесем множитель $x^{2} + 2 x + 4$ из $x^{3} (x^{2} + 2 x + 4) + 8 (x^{2} + 2 x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Вынесем множитель $x^{2} + 2 x + 4$ из $x^{3} (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$(x^{2} + 2 x + 4) x^{3} + 8 (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Этап 7.1.4.2

Вынесем множитель $x^{2} + 2 x + 4$ из $8 (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$(x^{2} + 2 x + 4) x^{3} + (x^{2} + 2 x + 4) \cdot 8 = 0$

Этап 7.1.4.3

Вынесем множитель $x^{2} + 2 x + 4$ из $(x^{2} + 2 x + 4) x^{3} + (x^{2} + 2 x + 4) \cdot 8$ .

$(x^{2} + 2 x + 4) (x^{3} + 8) = 0$

Этап 7.1.5

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$(x^{2} + 2 x + 4) (x^{3} + 2^{3}) = 0$

Этап 7.1.6

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$(x^{2} + 2 x + 4) ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Этап 7.1.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.7.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 4) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

Этап 7.1.7.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$(x^{2} + 2 x + 4) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

Этап 7.1.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 2 x + 4) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $x^{2} + 2 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $x^{2} + 2 x + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Этап 7.3.2

Решим $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.3.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.3.2.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 7.3.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.4.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.4.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.4.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.3.2.4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 7.3.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Этап 7.3.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.5.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.5.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.5.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.3.2.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 7.3.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 7.3.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 7.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 7.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 7.5

Приравняем $x^{2} - 2 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $x^{2} - 2 x + 4$ к $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Этап 7.5.2

Решим $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.5.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 7.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.4.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.4.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.4.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.5.2.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 7.5.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Этап 7.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.5.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.5.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.5.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.5.2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 7.5.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Этап 7.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Этап 7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 2 x + 4) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ верно.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}, - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x - 2) (x + 1 - i \sqrt{3}) (x + 1 + \sqrt{3} i) (x + 2) (x - 1 - i \sqrt{3}) (x - 1 + \sqrt{3} i)$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $x^{6} - 64$ .

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}, - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Этап 10