Основы мат. анализа Примеры

$| \frac{x - 1}{3} | < 2$

Этап 1

Запишем $| \frac{x - 1}{3} | < 2$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$\frac{x - 1}{3} \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим обе части на $3$ .

$\frac{x - 1}{3} \cdot 3 \geq 0 \cdot 3$

Этап 1.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x - 1}{3} \cdot 3 \geq 0 \cdot 3$

Этап 1.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x - 1 \geq 0 \cdot 3$

Этап 1.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Умножим $0$ на $3$ .

$x - 1 \geq 0$

Этап 1.2.3

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 1$

Этап 1.3

В части, где $\frac{x - 1}{3}$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$\frac{x - 1}{3} < 2$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$\frac{x - 1}{3} < 0$

Этап 1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим обе части на $3$ .

$\frac{x - 1}{3} \cdot 3 < 0 \cdot 3$

Этап 1.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x - 1}{3} \cdot 3 < 0 \cdot 3$

Этап 1.5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x - 1 < 0 \cdot 3$

Этап 1.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Умножим $0$ на $3$ .

$x - 1 < 0$

Этап 1.5.3

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$x < 1$

Этап 1.6

В части, где $\frac{x - 1}{3}$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- \frac{x - 1}{3} < 2$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} \frac{x - 1}{3} < 2 & x \geq 1 \\ - \frac{x - 1}{3} < 2 & x < 1 \end{cases}$

Этап 2

Решим $\frac{x - 1}{3} < 2$ , когда $x \geq 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $\frac{x - 1}{3} < 2$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим обе части на $3$ .

$\frac{x - 1}{3} \cdot 3 < 2 \cdot 3$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x - 1}{3} \cdot 3 < 2 \cdot 3$

Этап 2.1.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x - 1 < 2 \cdot 3$

Этап 2.1.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$x - 1 < 6$

Этап 2.1.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$x < 6 + 1$

Этап 2.1.3.2

Добавим $6$ и $1$ .

$x < 7$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x < 7$ и $x \geq 1$ .

$1 \leq x < 7$

Этап 3

Решим $- \frac{x - 1}{3} < 2$ , когда $x < 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- \frac{x - 1}{3} < 2$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- \frac{x - 1}{3} < 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Разделим каждый член $- \frac{x - 1}{3} < 2$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- \frac{x - 1}{3}}{- 1} > \frac{2}{- 1}$

Этап 3.1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{x - 1}{3}}{1} > \frac{2}{- 1}$

Этап 3.1.1.2.2

Разделим $\frac{x - 1}{3}$ на $1$ .

$\frac{x - 1}{3} > \frac{2}{- 1}$

Этап 3.1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Разделим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x - 1}{3} > - 2$

Этап 3.1.2

Умножим обе части на $3$ .

$\frac{x - 1}{3} \cdot 3 > - 2 \cdot 3$

Этап 3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x - 1}{3} \cdot 3 > - 2 \cdot 3$

Этап 3.1.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x - 1 > - 2 \cdot 3$

Этап 3.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.2.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$x - 1 > - 6$

Этап 3.1.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$x > - 6 + 1$

Этап 3.1.4.2

Добавим $- 6$ и $1$ .

$x > - 5$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x > - 5$ и $x < 1$ .

$- 5 < x < 1$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$- 5 < x < 7$

Этап 5

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 5, 7)$

Этап 6