Основы мат. анализа Примеры

$| 1 - 2 x | < \frac{1}{3}$

Этап 1

Запишем $| 1 - 2 x | < \frac{1}{3}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$1 - 2 x \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- 2 x \geq - 1$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- 2 x \geq - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 x \geq - 1$ на $- 2$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{- 1}{- 2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{- 1}{- 2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 2}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x \leq \frac{1}{2}$

Этап 1.3

В части, где $1 - 2 x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$1 - 2 x < \frac{1}{3}$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$1 - 2 x < 0$

Этап 1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- 2 x < - 1$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член $- 2 x < - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член $- 2 x < - 1$ на $- 2$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- 1}{- 2}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- 1}{- 2}$

Этап 1.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{- 1}{- 2}$

Этап 1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x > \frac{1}{2}$

Этап 1.6

В части, где $1 - 2 x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (1 - 2 x) < \frac{1}{3}$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} 1 - 2 x < \frac{1}{3} & x \leq \frac{1}{2} \\ - (1 - 2 x) < \frac{1}{3} & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $- (1 - 2 x) < \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 1 - 2 x < \frac{1}{3} & x \leq \frac{1}{2} \\ - 1 \cdot 1 - (- 2 x) < \frac{1}{3} & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Этап 1.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

${\begin{cases} 1 - 2 x < \frac{1}{3} & x \leq \frac{1}{2} \\ - 1 - (- 2 x) < \frac{1}{3} & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Этап 1.8.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

${\begin{cases} 1 - 2 x < \frac{1}{3} & x \leq \frac{1}{2} \\ - 1 + 2 x < \frac{1}{3} & x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Этап 2

Решим $1 - 2 x < \frac{1}{3}$ , когда $x \leq \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $1 - 2 x < \frac{1}{3}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- 2 x < \frac{1}{3} - 1$

Этап 2.1.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x < \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.1.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x < \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Этап 2.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 x < \frac{1 - 1 \cdot 3}{3}$

Этап 2.1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 2 x < \frac{1 - 3}{3}$

Этап 2.1.1.5.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$- 2 x < \frac{- 2}{3}$

Этап 2.1.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 x < - \frac{2}{3}$

Этап 2.1.2

Разделим каждый член $- 2 x < - \frac{2}{3}$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим каждый член $- 2 x < - \frac{2}{3}$ на $- 2$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- \frac{2}{3}}{- 2}$

Этап 2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- \frac{2}{3}}{- 2}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{- \frac{2}{3}}{- 2}$

Этап 2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x > - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- 2}$

Этап 2.1.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$x > \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{- 2}$

Этап 2.1.2.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$x > \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{- 2}$

Этап 2.1.2.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$x > \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.1.2.3.2.4

Сократим общий множитель.

$x > \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.1.2.3.2.5

Перепишем это выражение.

$x > \frac{- 1}{3} \cdot \frac{1}{- 1}$

Этап 2.1.2.3.3

Умножим $\frac{- 1}{3}$ на $\frac{1}{- 1}$ .

$x > \frac{- 1}{3 \cdot - 1}$

Этап 2.1.2.3.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x > \frac{- 1}{- 3}$

Этап 2.1.2.3.5

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x > \frac{1}{3}$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x > \frac{1}{3}$ и $x \leq \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} < x \leq \frac{1}{2}$

Этап 3

Решим $- 1 + 2 x < \frac{1}{3}$ , когда $x > \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- 1 + 2 x < \frac{1}{3}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$2 x < \frac{1}{3} + 1$

Этап 3.1.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 x < \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Этап 3.1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x < \frac{1 + 3}{3}$

Этап 3.1.1.4

Добавим $1$ и $3$ .

$2 x < \frac{4}{3}$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $2 x < \frac{4}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $2 x < \frac{4}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4}{3}}{2}$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4}{3}}{2}$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{\frac{4}{3}}{2}$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x < \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.1.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x < \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.1.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x < \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.1.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x < \frac{2}{3}$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x < \frac{2}{3}$ и $x > \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$\frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}$

Этап 5

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

Этап 6