Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - 9} > 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} + 9 x + 20 = 0$

$x^{2} - 9 = 0$

Этап 2

Разложим $x^{2} + 9 x + 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $20$ , а сумма — $9$ .

$4, 5$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 4) (x + 5) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 4

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 5

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 4) (x + 5) = 0$ верно.

$x = - 4, - 5$

Этап 7

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 9$

Этап 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 9

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 10

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 10.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 11

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 4, - 5$

$x = 3, - 3$

Этап 12

Объединим решения.

$x = - 4, - 5, 3, - 3$

Этап 13

Найдем область определения $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - 9}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 9 = 0$

Этап 13.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 9$

Этап 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 13.2.3

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 13.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 13.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 13.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 13.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 13.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 14

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Этап 15

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 15.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 8)}^{2} + 9 (- 8) + 20}{{(- 8)}^{2} - 9} > 0$

Этап 15.1.3

Левая часть $0.2\overline{18}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 15.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4.5$

Этап 15.2.2

Заменим $x$ на $- 4.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 4.5)}^{2} + 9 (- 4.5) + 20}{{(- 4.5)}^{2} - 9} > 0$

Этап 15.2.3

Левая часть $- 0.0\overline{2}$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 15.3

Проверим значение на интервале $- 4 < x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3.5$

Этап 15.3.2

Заменим $x$ на $- 3.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 3.5)}^{2} + 9 (- 3.5) + 20}{{(- 3.5)}^{2} - 9} > 0$

Этап 15.3.3

Левая часть $0.\overline{230769}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 15.4

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 15.4.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0)}^{2} + 9 (0) + 20}{{(0)}^{2} - 9} > 0$

Этап 15.4.3

Левая часть $- 2.\overline{2}$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 15.5

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 15.5.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(6)}^{2} + 9 (6) + 20}{{(6)}^{2} - 9} > 0$

Этап 15.5.3

Левая часть $4.\overline{074}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 15.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

Этап 16

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 5$ или $- 4 < x < - 3$ или $x > 3$

Этап 17

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 5) \cup (- 4, - 3) \cup (3, \infty)$

Этап 18