Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42} > 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} - x - 42 = 0$

$x^{2} - 13 x + 42 = 0$

Этап 2

Разложим $x^{2} - x - 42$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 42$ , а сумма — $- 1$ .

$- 7, 6$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 7) (x + 6) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 4

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 4.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 5

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 7) (x + 6) = 0$ верно.

$x = 7, - 6$

Этап 7

Разложим $x^{2} - 13 x + 42$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $42$ , а сумма — $- 13$ .

$- 7, - 6$

Этап 7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 7) (x - 6) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 9

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 9.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 10

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 10.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 7) (x - 6) = 0$ верно.

$x = 7, 6$

Этап 12

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 7, - 6$

$x = 7, 6$

Этап 13

Объединим решения.

$x = 7, - 6, 7, 6$

Этап 14

Найдем область определения $\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - x - 42}{x^{2} - 13 x + 42}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 13 x + 42 = 0$

Этап 14.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Разложим $x^{2} - 13 x + 42$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

$- 7, - 6$

Этап 14.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 7) (x - 6) = 0$

Этап 14.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 14.2.3

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 14.2.3.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 14.2.4

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 14.2.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 14.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 7) (x - 6) = 0$ верно.

$x = 7, 6$

Этап 14.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

Этап 15

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 6$

$- 6 < x < 6$

$6 < x < 7$

$x > 7$

Этап 16

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Проверим значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 16.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 8)}^{2} - (- 8) - 42}{{(- 8)}^{2} - 13 \cdot - 8 + 42} > 0$

Этап 16.1.3

Левая часть $0.\overline{142857}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 16.2

Проверим значение на интервале $- 6 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Выберем значение на интервале $- 6 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 16.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0)}^{2} - (0) - 42}{{(0)}^{2} - 13 \cdot 0 + 42} > 0$

Этап 16.2.3

Левая часть $- 1$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 16.3

Проверим значение на интервале $6 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Выберем значение на интервале $6 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6.5$

Этап 16.3.2

Заменим $x$ на $6.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(6.5)}^{2} - (6.5) - 42}{{(6.5)}^{2} - 13 \cdot 6.5 + 42} > 0$

Этап 16.3.3

Левая часть $25$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 16.4

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 16.4.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(10)}^{2} - (10) - 42}{{(10)}^{2} - 13 \cdot 10 + 42} > 0$

Этап 16.4.3

Левая часть $4$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 16.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 6$ Истина

$- 6 < x < 6$ Ложь

$6 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Истина

$x < - 6$ Истина

$- 6 < x < 6$ Ложь

$6 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Истина

Этап 17

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 6$ или $6 < x < 7$ или $x > 7$

Этап 18

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

Этап 19