Основы мат. анализа Примеры

$\frac{4 - 2 x}{3 x + 4} > 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$4 - 2 x = 0$

$3 x + 4 = 0$

Этап 2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 4$

Этап 3

Разделим каждый член $- 2 x = - 4$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 4$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим $- 4$ на $- 2$ .

$x = 2$

Этап 4

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 4$

Этап 5

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{3}$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 2$

$x = - \frac{4}{3}$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 2, - \frac{4}{3}$

Этап 8

Найдем область определения $\frac{4 - 2 x}{3 x + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{4 - 2 x}{3 x + 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 x + 4 = 0$

Этап 8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 4$

Этап 8.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Этап 8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{3}$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - \frac{4}{3}) \cup (- \frac{4}{3}, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{4}{3}$

$- \frac{4}{3} < x < 2$

$x > 2$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 - 2 \cdot - 4}{3 (- 4) + 4} > 0$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 1.5$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- \frac{4}{3} < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{4}{3} < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 - 2 \cdot 0}{3 (0) + 4} > 0$

Этап 10.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 - 2 \cdot 4}{3 (4) + 4} > 0$

Этап 10.3.3

Левая часть $- 0.25$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{4}{3}$ Ложь

$- \frac{4}{3} < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < - \frac{4}{3}$ Ложь

$- \frac{4}{3} < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{4}{3} < x < 2$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \frac{4}{3}, 2)$

Этап 13