Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - 45 x^{2} + 324 < 0$

Этап 1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 45 u + 324 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2

Разложим $u^{2} - 45 u + 324$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $324$ , а сумма — $- 45$ .

$- 36, - 9$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 36) (u - 9) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 36 = 0$

$u - 9 = 0$

Этап 4

Приравняем $u - 36$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $u - 36$ к $0$ .

$u - 36 = 0$

Этап 4.2

Добавим $36$ к обеим частям уравнения.

$u = 36$

Этап 5

Приравняем $u - 9$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $u - 9$ к $0$ .

$u - 9 = 0$

Этап 5.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$u = 9$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 36) (u - 9) = 0$ верно.

$u = 36, 9$

Этап 7

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 36$

${(x^{2})}^{1} = 9$

Этап 8

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 36$

Этап 9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{36}$

Этап 9.2

Упростим $\pm \sqrt{36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Этап 9.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 6$

Этап 9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 6$

Этап 9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 6$

Этап 9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 6, - 6$

Этап 10

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 9$

Этап 11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 9$

Этап 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 11.3

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 11.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 11.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 11.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 11.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 12

Решением $x^{4} - 45 x^{2} + 324 = 0$ является $x = 6, - 6, 3, - 3$ .

$x = 6, - 6, 3, - 3$

Этап 13

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 6$

$x > 6$

Этап 14

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проверим значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 14.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

${(- 8)}^{4} - 45 {(- 8)}^{2} + 324 < 0$

Этап 14.1.3

Левая часть $1540$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 14.2

Проверим значение на интервале $- 6 < x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Выберем значение на интервале $- 6 < x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 14.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{4} - 45 {(- 4)}^{2} + 324 < 0$

Этап 14.2.3

Левая часть $- 140$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 14.3

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 14.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{4} - 45 {(0)}^{2} + 324 < 0$

Этап 14.3.3

Левая часть $324$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 14.4

Проверим значение на интервале $3 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Выберем значение на интервале $3 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 14.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{4} - 45 {(4)}^{2} + 324 < 0$

Этап 14.4.3

Левая часть $- 140$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 14.5

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 14.5.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

${(8)}^{4} - 45 {(8)}^{2} + 324 < 0$

Этап 14.5.3

Левая часть $1540$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 14.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 6$ Ложь

$- 6 < x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 3$ Ложь

$3 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

$x < - 6$ Ложь

$- 6 < x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 3$ Ложь

$3 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

Этап 15

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 6 < x < - 3$ или $3 < x < 6$

Этап 16

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 6, - 3) \cup (3, 6)$

Этап 17