Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} + 6 x^{2} + 9 x < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{3} + 6 x^{2} + 9 x = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 6 x^{2} + 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 9 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $6 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (6 x) + 9 x = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $9 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (6 x)$ .

$x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 9 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 9$ .

$x (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Этап 2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 2.2.3

Перепишем многочлен.

$x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$x {(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 5.2

Решим ${(x + 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x {(x + 3)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, - 3$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$x > 0$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

${(- 6)}^{3} + 6 {(- 6)}^{2} + 9 (- 6) < 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $- 54$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

${(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 9 (- 2) < 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

${(2)}^{3} + 6 {(2)}^{2} + 9 (2) < 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $50$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 3$ или $- 3 < x < 0$

Этап 10

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0)$

Этап 11