Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - 12 x + 3 < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 12 x + 3 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 12$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Вычтем $12$ из $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Перепишем $132$ в виде $2^{2} \cdot 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $132$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{33}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Вычтем $12$ из $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4

Перепишем $132$ в виде $2^{2} \cdot 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $132$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{33}$

Этап 5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 6 + \sqrt{33}$

Этап 6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Вычтем $12$ из $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4

Перепишем $132$ в виде $2^{2} \cdot 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $132$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{33}$

Этап 6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 6 - \sqrt{33}$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 6 + \sqrt{33}, 6 - \sqrt{33}$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 6 - \sqrt{33}$

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$

$x > 6 + \sqrt{33}$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < 6 - \sqrt{33}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < 6 - \sqrt{33}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3 < 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $3$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

${(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 3 < 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $- 24$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > 6 + \sqrt{33}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 6 + \sqrt{33}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 14$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $14$ в исходном неравенстве.

${(14)}^{2} - 12 \cdot 14 + 3 < 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $31$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 6 - \sqrt{33}$ Ложь

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ Истина

$x > 6 + \sqrt{33}$ Ложь

$x < 6 - \sqrt{33}$ Ложь

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$ Истина

$x > 6 + \sqrt{33}$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$6 - \sqrt{33} < x < 6 + \sqrt{33}$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(6 - \sqrt{33}, 6 + \sqrt{33})$

Этап 12