Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x}{x + 7} > 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 3

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = - 7$

Этап 4

Объединим решения.

$x = 0, - 7$

Этап 5

Найдем область определения $\frac{x}{x + 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{x + 7}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 7 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 5.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, \infty)$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 7$

$- 7 < x < 0$

$x > 0$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 10}{(- 10) + 7} > 0$

Этап 7.1.3

Левая часть $3.\overline{3}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $- 7 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $- 7 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 4}{(- 4) + 7} > 0$

Этап 7.2.3

Левая часть $- 1.\overline{3}$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{2}{(2) + 7} > 0$

Этап 7.3.3

Левая часть $0.\overline{2}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 7$ Истина

$- 7 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

$x < - 7$ Истина

$- 7 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 7$ или $x > 0$

Этап 9

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 7) \cup (0, \infty)$

Этап 10