Основы мат. анализа Примеры

$6 x - 5 < \frac{6}{x}$

Этап 1

Умножим обе части на $x$ .

$(6 x - 5) x = \frac{6}{x} x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $(6 x - 5) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x \cdot x - 5 x = \frac{6}{x} x$

Этап 2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Перенесем $x$ .

$6 (x \cdot x) - 5 x = \frac{6}{x} x$

Этап 2.1.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x^{2} - 5 x = \frac{6}{x} x$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$6 x^{2} - 5 x = \frac{6}{x} x$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$6 x^{2} - 5 x = 6$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$6 x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Этап 3.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot - 6 = - 36$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$6 x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Этап 3.2.1.2

Запишем $- 5$ как $4$ плюс $- 9$

$6 x^{2} + (4 - 9) x - 6 = 0$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 4 x - 9 x - 6 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(6 x^{2} + 4 x) - 9 x - 6 = 0$

Этап 3.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (3 x + 2) - 3 (3 x + 2) = 0$

Этап 3.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (2 x - 3) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $3 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 3.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 3.5

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 2) (2 x - 3) = 0$ верно.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{3}{2}$

Этап 4

Найдем область определения $6 x - 5 - \frac{6}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{6}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < 0$

$0 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$6 (- 3) - 5 < \frac{6}{- 3}$

Этап 6.1.3

Левая часть $- 23$ меньше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $- \frac{2}{3} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{2}{3} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.33$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $- 0.33$ в исходном неравенстве.

$6 (- 0.33) - 5 < \frac{6}{- 0.33}$

Этап 6.2.3

Левая часть $- 6.98$ не меньше правой части $- 18.\overline{18}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$6 (1) - 5 < \frac{6}{1}$

Этап 6.3.3

Левая часть $1$ меньше правой части $6$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.4

Проверим значение на интервале $x > \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 6.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$6 (4) - 5 < \frac{6}{4}$

Этап 6.4.3

Левая часть $19$ не меньше правой части $1.5$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{2}{3}$ Истина

$- \frac{2}{3} < x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{3}{2}$ Истина

$x > \frac{3}{2}$ Ложь

$x < - \frac{2}{3}$ Истина

$- \frac{2}{3} < x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{3}{2}$ Истина

$x > \frac{3}{2}$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{2}{3}$ или $0 < x < \frac{3}{2}$

Этап 8

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (0, \frac{3}{2})$

Этап 9