Основы мат. анализа Примеры

$\frac{(x - 1) | x - 4 |}{\sqrt{x + 3}} > 0$

Этап 1

Умножим обе части на $\sqrt{x + 3}$ .

$\frac{(x - 1) | x - 4 |}{\sqrt{x + 3}} \sqrt{x + 3} = 0 \sqrt{x + 3}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $\frac{(x - 1) | x - 4 |}{\sqrt{x + 3}} \sqrt{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель $\sqrt{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 1) | x - 4 |}{\sqrt{x + 3}} \sqrt{x + 3} = 0 \sqrt{x + 3}$

Этап 2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(x - 1) | x - 4 | = 0 \sqrt{x + 3}$

Этап 2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x | x - 4 | - 1 | x - 4 | = 0 \sqrt{x + 3}$

Этап 2.1.1.3

Перепишем $- 1 | x - 4 |$ в виде $- | x - 4 |$ .

$x | x - 4 | - | x - 4 | = 0 \sqrt{x + 3}$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $0$ на $\sqrt{x + 3}$ .

$x | x - 4 | - | x - 4 | = 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $| x - 4 |$ из $x | x - 4 | - | x - 4 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $| x - 4 |$ из $x | x - 4 |$ .

$| x - 4 | x - | x - 4 | = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $| x - 4 |$ из $- | x - 4 |$ .

$| x - 4 | x + | x - 4 | \cdot - 1 = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $| x - 4 |$ из $| x - 4 | x + | x - 4 | \cdot - 1$ .

$| x - 4 | (x - 1) = 0$

Этап 3.2

Разделим каждый член $| x - 4 | (x - 1) = 0$ на $x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $| x - 4 | (x - 1) = 0$ на $x - 1$ .

$\frac{| x - 4 | (x - 1)}{x - 1} = \frac{0}{x - 1}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| x - 4 | (x - 1)}{x - 1} = \frac{0}{x - 1}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $| x - 4 |$ на $1$ .

$| x - 4 | = \frac{0}{x - 1}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $0$ на $x - 1$ .

$| x - 4 | = 0$

Этап 3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 4 = \pm 0$

Этап 3.4

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.5

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3.6

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 4 = \pm 0$

Этап 3.7

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.8

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 4

Найдем область определения $\frac{(x - 1) | x - 4 |}{\sqrt{x + 3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 3 \geq 0$

Этап 4.2

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 3$

Этап 4.3

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 1) | x - 4 |}{\sqrt{x + 3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x + 3} = 0$

Этап 4.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x + 3}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Упростим ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.4.2.2.1.2

Упростим.

$x + 3 = 0^{2}$

Этап 4.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 4.4.3

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- 3, \infty)$

Этап 5

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x > 4$

Этап 6

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(4, \infty)$

Этап 7