Основы мат. анализа Примеры

$4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

Этап 1

Упростим $4 x (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$0 + 0 + 4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

Этап 1.2

Упростим путем добавления нулей.

$4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

Этап 1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

Этап 1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

Этап 1.5

Умножим $- 2$ на $4$ .

$4 x^{2} - 8 x < (2 x - 1) (x - 3)$

Этап 2

Упростим $(2 x - 1) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Развернем $(2 x - 1) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x (x - 3) - 1 (x - 3)$

Этап 2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 (x - 3)$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 8 x < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

Этап 2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перенесем $x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - 1 x - 1 \cdot - 3$

Этап 2.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - x - 1 \cdot - 3$

Этап 2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - x + 3$

Этап 2.2.2

Вычтем $x$ из $- 6 x$ .

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 7 x + 3$

Этап 3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$4 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} < - 7 x + 3$

Этап 3.2

Добавим $7 x$ к обеим частям неравенства.

$4 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 7 x < 3$

Этап 3.3

Вычтем $2 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 8 x + 7 x < 3$

Этап 3.4

Добавим $- 8 x$ и $7 x$ .

$2 x^{2} - x < 3$

Этап 4

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{2} - x = 3$

Этап 5

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - x - 3 = 0$

Этап 6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 3 = 0$

Этап 6.1.2

Запишем $- 1$ как $2$ плюс $- 3$

$2 x^{2} + (2 - 3) x - 3 = 0$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 = 0$

Этап 6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3 = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (x + 1) - 3 (x + 1) = 0$

Этап 6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 1$ .

$(x + 1) (2 x - 3) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Этап 8

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 9

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 9.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 9.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 9.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (2 x - 3) = 0$ верно.

$x = - 1, \frac{3}{2}$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$4 (- 4) ((- 4) - 2) < (2 (- 4) - 1) ((- 4) - 3)$

Этап 12.1.3

Левая часть $96$ не меньше правой части $63$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$4 (0) ((0) - 2) < (2 (0) - 1) ((0) - 3)$

Этап 12.2.3

Левая часть $0$ меньше правой части $3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$4 (4) ((4) - 2) < (2 (4) - 1) ((4) - 3)$

Этап 12.3.3

Левая часть $32$ не меньше правой части $7$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < \frac{3}{2}$ Истина

$x > \frac{3}{2}$ Ложь

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < \frac{3}{2}$ Истина

$x > \frac{3}{2}$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 < x < \frac{3}{2}$

Этап 14

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 1, \frac{3}{2})$

Этап 15