Основы мат. анализа Примеры

$25 x^{2} + 16 < 40 x$

Этап 1

Вычтем $40 x$ из обеих частей неравенства.

$25 x^{2} + 16 - 40 x < 0$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$25 x^{2} + 16 - 40 x = 0$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Переставляем члены.

$25 x^{2} - 40 x + 16 = 0$

Этап 3.2

Перепишем $25 x^{2}$ в виде ${(5 x)}^{2}$ .

${(5 x)}^{2} - 40 x + 16 = 0$

Этап 3.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

${(5 x)}^{2} - 40 x + 4^{2} = 0$

Этап 3.4

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$40 x = 2 \cdot (5 x) \cdot 4$

Этап 3.5

Перепишем многочлен.

${(5 x)}^{2} - 2 \cdot (5 x) \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Этап 3.6

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 5 x$ и $b = 4$ .

${(5 x - 4)}^{2} = 0$

Этап 4

Приравняем $5 x - 4$ к $0$ .

$5 x - 4 = 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 4$

Этап 5.2

Разделим каждый член $5 x = 4$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $5 x = 4$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{5}$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{4}{5}$

$x > \frac{4}{5}$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{4}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{4}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$25 {(0)}^{2} + 16 < 40 (0)$

Этап 7.1.3

Левая часть $16$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $x > \frac{4}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{4}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$25 {(3)}^{2} + 16 < 40 (3)$

Этап 7.2.3

Левая часть $241$ не меньше правой части $120$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{4}{5}$ Ложь

$x > \frac{4}{5}$ Ложь

$x < \frac{4}{5}$ Ложь

$x > \frac{4}{5}$ Ложь

Этап 8

Поскольку попадающие в этот интервал числа отсутствуют, это неравенство не имеет решения.

Нет решения