Основы мат. анализа Примеры

$4 + | x - 5 | > \frac{5}{8}$

Этап 1

Запишем $4 + | x - 5 | > \frac{5}{8}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x - 5 \geq 0$

Этап 1.2

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 5$

Этап 1.3

В части, где $x - 5$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$4 + x - 5 > \frac{5}{8}$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x - 5 < 0$

Этап 1.5

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$x < 5$

Этап 1.6

В части, где $x - 5$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$4 - (x - 5) > \frac{5}{8}$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} 4 + x - 5 > \frac{5}{8} & x \geq 5 \\ 4 - (x - 5) > \frac{5}{8} & x < 5 \end{cases}$

Этап 1.8

Вычтем $5$ из $4$ .

${\begin{cases} x - 1 > \frac{5}{8} & x \geq 5 \\ 4 - (x - 5) > \frac{5}{8} & x < 5 \end{cases}$

Этап 1.9

Упростим $4 - (x - 5) > \frac{5}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} x - 1 > \frac{5}{8} & x \geq 5 \\ 4 - x - - 5 > \frac{5}{8} & x < 5 \end{cases}$

Этап 1.9.1.2

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

${\begin{cases} x - 1 > \frac{5}{8} & x \geq 5 \\ 4 - x + 5 > \frac{5}{8} & x < 5 \end{cases}$

Этап 1.9.2

Добавим $4$ и $5$ .

${\begin{cases} x - 1 > \frac{5}{8} & x \geq 5 \\ - x + 9 > \frac{5}{8} & x < 5 \end{cases}$

Этап 2

Решим $x - 1 > \frac{5}{8}$ , когда $x \geq 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$x > \frac{5}{8} + 1$

Этап 2.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x > \frac{5}{8} + \frac{8}{8}$

Этап 2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x > \frac{5 + 8}{8}$

Этап 2.1.4

Добавим $5$ и $8$ .

$x > \frac{13}{8}$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x > \frac{13}{8}$ и $x \geq 5$ .

$x \geq 5$

Этап 3

Решим $- x + 9 > \frac{5}{8}$ , когда $x < 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- x + 9 > \frac{5}{8}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вычтем $9$ из обеих частей неравенства.

$- x > \frac{5}{8} - 9$

Этап 3.1.1.2

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$- x > \frac{5}{8} - 9 \cdot \frac{8}{8}$

Этап 3.1.1.3

Объединим $- 9$ и $\frac{8}{8}$ .

$- x > \frac{5}{8} + \frac{- 9 \cdot 8}{8}$

Этап 3.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- x > \frac{5 - 9 \cdot 8}{8}$

Этап 3.1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.5.1

Умножим $- 9$ на $8$ .

$- x > \frac{5 - 72}{8}$

Этап 3.1.1.5.2

Вычтем $72$ из $5$ .

$- x > \frac{- 67}{8}$

Этап 3.1.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- x > - \frac{67}{8}$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $- x > - \frac{67}{8}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $- x > - \frac{67}{8}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- \frac{67}{8}}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} < \frac{- \frac{67}{8}}{- 1}$

Этап 3.1.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- \frac{67}{8}}{- 1}$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x < \frac{\frac{67}{8}}{1}$

Этап 3.1.2.3.2

Разделим $\frac{67}{8}$ на $1$ .

$x < \frac{67}{8}$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x < \frac{67}{8}$ и $x < 5$ .

$x < 5$

Этап 4

Найдем объединение решений.

Все вещественные числа

Этап 5

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, \infty)$

Этап 6