Основы мат. анализа Примеры

$\frac{- x + 2}{x - 7} > 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$- x + 2 = 0$

$x - 7 = 0$

Этап 2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 3

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 4

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 2$

$x = 7$

Этап 6

Объединим решения.

$x = 2, 7$

Этап 7

Найдем область определения $\frac{- x + 2}{x - 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{- x + 2}{x - 7}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 7 = 0$

Этап 7.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{- (0) + 2}{(0) - 7} > 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 0.\overline{285714}$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $2 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{- (4) + 2}{(4) - 7} > 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $0.\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\frac{- (10) + 2}{(10) - 7} > 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $- 2.\overline{6}$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 2$ Ложь

$2 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

$x < 2$ Ложь

$2 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$2 < x < 7$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(2, 7)$

Этап 12