Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}}$

Этап 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $y^{2} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}}$ на $\frac{y^{2} x^{2}}{y^{2} x^{2}}$ .

$\frac{y^{2} x^{2}}{y^{2} x^{2}} \cdot \frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}}$

Этап 1.2

Объединим.

$\frac{y^{2} x^{2} (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{2} x^{2} \frac{x}{y} + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2} x^{2}$ .

$\frac{y (y x^{2}) \frac{x}{y} + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y (y x^{2}) \frac{x}{y} + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y x^{2} x + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{y (x^{1} x^{2}) + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y x^{1 + 2} + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{y x^{3} + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{x}$ в числитель.

$\frac{y x^{3} + y^{2} x^{2} \frac{- y}{x}}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $x$ из $y^{2} x^{2}$ .

$\frac{y x^{3} + x (y^{2} x) \frac{- y}{x}}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 3.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y x^{3} + x (y^{2} x) \frac{- y}{x}}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 3.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{y x^{3} + y^{2} x (- y)}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 3.6

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y x^{3} + x (- (y^{2} y^{1}))}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y x^{3} + x (- y^{2 + 1})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 3.8

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 3.9

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $y^{2} x^{2}$ .

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{x^{2} y^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 3.9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{x^{2} y^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 3.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{y^{2} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Этап 3.10

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y^{2}}$ в числитель.

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{y^{2} + y^{2} x^{2} \frac{- 1}{y^{2}}}$

Этап 3.10.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} x^{2}$ .

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{y^{2} + y^{2} (x^{2}) \frac{- 1}{y^{2}}}$

Этап 3.10.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{y^{2} + y^{2} x^{2} \frac{- 1}{y^{2}}}$

Этап 3.10.4

Перепишем это выражение.

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $y x$ из $y x^{3} + x (- y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $y x$ из $y x^{3}$ .

$\frac{y x (x^{2}) + x (- y^{3})}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $y x$ из $x (- y^{3})$ .

$\frac{y x (x^{2}) + y x (- y^{2})}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $y x$ из $y x (x^{2}) + y x (- y^{2})$ .

$\frac{y x (x^{2} - y^{2})}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Этап 4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = y$ .

$\frac{y x (x + y) (x - y)}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{y x (x + y) (x - y)}{y^{2} - 1 \cdot x^{2}}$

Этап 5.2

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$\frac{y x (x + y) (x - y)}{y^{2} - x^{2}}$

Этап 5.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = x$ .

$\frac{y x (x + y) (x - y)}{(y + x) (y - x)}$

Этап 6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $x + y$ и $y + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{y x (x + y) (x - y)}{(x + y) (y - x)}$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y x (x + y) (x - y)}{(x + y) (y - x)}$

Этап 6.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y x (x - y)}{y - x}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $x - y$ и $y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{y x (- 1 (- x) - y)}{y - x}$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{y x (- 1 (- x) - (y))}{y - x}$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x) - (y)$ .

$\frac{y x (- 1 (- x + y))}{y - x}$

Этап 6.2.4

Изменим порядок членов.

$\frac{y x (- 1 (- x + y))}{- x + y}$

Этап 6.2.5

Сократим общий множитель.

$\frac{y x (- 1 (- x + y))}{- x + y}$

Этап 6.2.6

Разделим $y x \cdot (- 1)$ на $1$ .

$y x \cdot (- 1)$

Этап 6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $y x$ .

$- 1 \cdot (y x)$

Этап 6.3.2

Перепишем $- 1 (y x)$ в виде $- (y x)$ .

$- y x$