Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2 x}{16 - x^{2}} < 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$2 x = 0$

$16 - x^{2} = 0$

Этап 2

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 3

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 16$

Этап 4

Разделим каждый член $- x^{2} = - 16$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 16$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Этап 4.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $- 16$ на $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Этап 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Этап 6

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Этап 6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

Этап 7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

Этап 7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

Этап 7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = 4, - 4$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 0, 4, - 4$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{2 x}{16 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x}{16 - x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$16 - x^{2} = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 16$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 16$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 16$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Этап 10.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Разделим $- 16$ на $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Этап 10.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Этап 10.2.4

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Этап 10.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

Этап 10.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

Этап 10.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

Этап 10.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (- 6)}{16 - {(- 6)}^{2}} < 0$

Этап 12.1.3

Левая часть $0.6$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (- 2)}{16 - {(- 2)}^{2}} < 0$

Этап 12.2.3

Левая часть $- 0.\overline{3}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (2)}{16 - {(2)}^{2}} < 0$

Этап 12.3.3

Левая часть $0.\overline{3}$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (6)}{16 - {(6)}^{2}} < 0$

Этап 12.4.3

Левая часть $- 0.6$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 0$ Истина

$0 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 0$ Истина

$0 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 4 < x < 0$ или $x > 4$

Этап 14

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 4, 0) \cup (4, \infty)$

Этап 15