Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{x + 4} > \frac{1}{x - 3}$

Этап 1

Вычтем $\frac{1}{x - 3}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x - 3} > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1}{x + 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{1}{x + 4} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} > 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x - 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{1}{x + 4} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} > 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 4) (x - 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{x + 4}$ на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 4) (x - 3)} - \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} > 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{x - 3}$ на $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 4) (x - 3)} - \frac{x + 4}{(x - 3) (x + 4)} > 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 3) (x + 4)$ .

$\frac{x - 3}{(x + 4) (x - 3)} - \frac{x + 4}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 3 - (x + 4)}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 4}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{x - 3 - x - 4}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{0 - 3 - 4}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.4

Вычтем $3$ из $0$ .

$\frac{- 3 - 4}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Этап 2.5.5

Вычтем $4$ из $- 3$ .

$\frac{- 7}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Этап 2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 4

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 5

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 4$

$x = 3$

Этап 7

Объединим решения.

$x = - 4, 3$

Этап 8

Найдем область определения $- \frac{7}{(x + 4) (x - 3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{7}{(x + 4) (x - 3)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x + 4) (x - 3) = 0$

Этап 8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 8.2.2

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 8.2.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 8.2.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 8.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 4) (x - 3) = 0$ верно.

$x = - 4, 3$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < 3$

$x > 3$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{(- 6) + 4} > \frac{1}{(- 6) - 3}$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 0.5$ не больше правой части $- 0.\overline{1}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{(0) + 4} > \frac{1}{(0) - 3}$

Этап 10.2.3

Левая часть $0.25$ больше правой части $- 0.\overline{3}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{(6) + 4} > \frac{1}{(6) - 3}$

Этап 10.3.3

Левая часть $0.1$ не больше правой части $0.\overline{3}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 4 < x < 3$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 4, 3)$

Этап 13