Основы мат. анализа Примеры

$\frac{21}{x - 6} > \frac{18}{x - 1}$

Этап 1

Вычтем $\frac{18}{x - 1}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{21}{x - 6} - \frac{18}{x - 1} > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{21}{x - 6} - \frac{18}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{21}{x - 6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{21}{x - 6} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{18}{x - 1} > 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{18}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{21}{x - 6} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{18}{x - 1} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} > 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 6) (x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{21}{x - 6}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{21 (x - 1)}{(x - 6) (x - 1)} - \frac{18}{x - 1} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} > 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{18}{x - 1}$ на $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{21 (x - 1)}{(x - 6) (x - 1)} - \frac{18 (x - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 6) (x - 1)$ .

$\frac{21 (x - 1)}{(x - 1) (x - 6)} - \frac{18 (x - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{21 (x - 1) - 18 (x - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $21 (x - 1) - 18 (x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $21 (x - 1)$ .

$\frac{3 (7 (x - 1)) - 18 (x - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Этап 2.5.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 18 (x - 6)$ .

$\frac{3 (7 (x - 1)) + 3 (- 6 (x - 6))}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Этап 2.5.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (7 (x - 1)) + 3 (- 6 (x - 6))$ .

$\frac{3 (7 (x - 1) - 6 (x - 6))}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (7 x + 7 \cdot - 1 - 6 (x - 6))}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Этап 2.5.3

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{3 (7 x - 7 - 6 (x - 6))}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Этап 2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (7 x - 7 - 6 x - 6 \cdot - 6)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Этап 2.5.5

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$\frac{3 (7 x - 7 - 6 x + 36)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Этап 2.5.6

Вычтем $6 x$ из $7 x$ .

$\frac{3 (x - 7 + 36)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Этап 2.5.7

Добавим $- 7$ и $36$ .

$\frac{3 (x + 29)}{(x - 1) (x - 6)} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 29 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 4

Вычтем $29$ из обеих частей уравнения.

$x = - 29$

Этап 5

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 6

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 29$

$x = 1$

$x = 6$

Этап 8

Объединим решения.

$x = - 29, 1, 6$

Этап 9

Найдем область определения $\frac{3 (x + 29)}{(x - 1) (x - 6)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 (x + 29)}{(x - 1) (x - 6)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x - 1) (x - 6) = 0$

Этап 9.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 9.2.2

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 9.2.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 9.2.3

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 9.2.3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 9.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x - 6) = 0$ верно.

$x = 1, 6$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1) \cup (1, 6) \cup (6, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 29$

$- 29 < x < 1$

$1 < x < 6$

$x > 6$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 29$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 29$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 32$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 32$ в исходном неравенстве.

$\frac{21}{(- 32) - 6} > \frac{18}{(- 32) - 1}$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 0.55263157$ не больше правой части $- 0.\overline{54}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 29 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 29 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{21}{(0) - 6} > \frac{18}{(0) - 1}$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 3.5$ больше правой части $- 18$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $1 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{21}{(4) - 6} > \frac{18}{(4) - 1}$

Этап 11.3.3

Левая часть $- 10.5$ не больше правой части $6$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{21}{(8) - 6} > \frac{18}{(8) - 1}$

Этап 11.4.3

Левая часть $10.5$ больше правой части $2.\overline{571428}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 29$ Ложь

$- 29 < x < 1$ Истина

$1 < x < 6$ Ложь

$x > 6$ Истина

$x < - 29$ Ложь

$- 29 < x < 1$ Истина

$1 < x < 6$ Ложь

$x > 6$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 29 < x < 1$ или $x > 6$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 29, 1) \cup (6, \infty)$

Этап 14