Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2 x}{5} - \frac{1}{2} \cdot (x - 3) < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1

Упростим $\frac{2 x}{5} - \frac{1}{2} \cdot (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x}{5} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 3 < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1.1.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 x}{5} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 3 < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1.1.3

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{2 x}{5} - \frac{x}{2} + 3 (\frac{1}{2}) < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1.1.3.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 x}{5} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1.2

Чтобы записать $\frac{2 x}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1.3

Чтобы записать $- \frac{x}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 x}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $10$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{2 x}{5}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1.4.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{2 x \cdot 2}{10} - \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1.4.3

Умножим $\frac{x}{2}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 x \cdot 2}{10} - \frac{x \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1.4.4

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{2 x \cdot 2}{10} - \frac{x \cdot 5}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x \cdot 2 - x \cdot 5}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x \cdot 2 - x \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x \cdot 2$ .

$\frac{x (2 \cdot 2) - x \cdot 5}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1.6.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \cdot 5$ .

$\frac{x (2 \cdot 2) + x (- 1 \cdot 5)}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1.6.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (2 \cdot 2) + x (- 1 \cdot 5)$ .

$\frac{x (2 \cdot 2 - 1 \cdot 5)}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1.6.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x (4 - 1 \cdot 5)}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1.6.1.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{x (4 - 5)}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1.6.1.4

Вычтем $5$ из $4$ .

$\frac{x \cdot - 1}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 1.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Этап 2

Упростим $\frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - x - 1 \cdot 2$

Этап 2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - x - 2$

Этап 2.2

Чтобы записать $- x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - x \cdot \frac{3}{3} - \frac{3}{10} - 2$

Этап 2.3

Объединим $- x$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} + \frac{- x \cdot 3}{3} - \frac{3}{10} - 2$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x - x \cdot 3}{3} - \frac{3}{10} - 2$

Этап 2.5

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $\frac{2 x - x \cdot 3}{3}$ на $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x - x \cdot 3}{3} \cdot \frac{10}{10} - \frac{3}{10} - 2$

Этап 2.5.2

Умножим $\frac{2 x - x \cdot 3}{3}$ на $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{3}{10} - 2$

Этап 2.5.3

Умножим $\frac{3}{10}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{3 \cdot 10} - (\frac{3}{10} \cdot \frac{3}{3}) - 2$

Этап 2.5.4

Умножим $\frac{3}{10}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} - 2$

Этап 2.5.5

Запишем $- 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{- 2}{1}$

Этап 2.5.6

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{30}{30}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{30}{30}$

Этап 2.5.7

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{30}{30}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 30}{30}$

Этап 2.5.8

Умножим $3$ на $10$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{30} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 30}{30}$

Этап 2.5.9

Изменим порядок множителей в $10 \cdot 3$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{30} - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 10} + \frac{- 2 \cdot 30}{30}$

Этап 2.5.10

Умножим $3$ на $10$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{30} - \frac{3 \cdot 3}{30} + \frac{- 2 \cdot 30}{30}$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10 - 3 \cdot 3 - 2 \cdot 30}{30}$

Этап 2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - 3 x) \cdot 10 - 3 \cdot 3 - 2 \cdot 30}{30}$

Этап 2.7.2

Вычтем $3 x$ из $2 x$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- x \cdot 10 - 3 \cdot 3 - 2 \cdot 30}{30}$

Этап 2.7.3

Умножим $10$ на $- 1$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- 10 x - 3 \cdot 3 - 2 \cdot 30}{30}$

Этап 2.7.4

Умножим $- 3$ на $3$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- 10 x - 9 - 2 \cdot 30}{30}$

Этап 2.7.5

Умножим $- 2$ на $30$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- 10 x - 9 - 60}{30}$

Этап 2.8

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вычтем $60$ из $- 9$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- 10 x - 69}{30}$

Этап 2.8.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 10 x$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- (10 x) - 69}{30}$

Этап 2.8.3

Перепишем $- 69$ в виде $- 1 (69)$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- (10 x) - 1 (69)}{30}$

Этап 2.8.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (10 x) - 1 (69)$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- (10 x + 69)}{30}$

Этап 2.8.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.1

Перепишем $- (10 x + 69)$ в виде $- 1 (10 x + 69)$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- 1 (10 x + 69)}{30}$

Этап 2.8.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < - \frac{10 x + 69}{30}$

Этап 3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $\frac{10 x + 69}{30}$ к обеим частям неравенства.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} + \frac{10 x + 69}{30} < 0$

Этап 3.2

Чтобы записать $- \frac{x}{10}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x}{10} \cdot \frac{3}{3} + \frac{10 x + 69}{30} + \frac{3}{2} < 0$

Этап 3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $30$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{x}{10}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{10 x + 69}{30} + \frac{3}{2} < 0$

Этап 3.3.2

Умножим $10$ на $3$ .

$- \frac{x \cdot 3}{30} + \frac{10 x + 69}{30} + \frac{3}{2} < 0$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x \cdot 3 + 10 x + 69}{30} + \frac{3}{2} < 0$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3 x + 10 x + 69}{30} + \frac{3}{2} < 0$

Этап 3.5.2

Добавим $- 3 x$ и $10 x$ .

$\frac{7 x + 69}{30} + \frac{3}{2} < 0$

Этап 3.6

Чтобы записать $\frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{15}{15}$ .

$\frac{7 x + 69}{30} + \frac{3}{2} \cdot \frac{15}{15} < 0$

Этап 3.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $30$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{15}{15}$ .

$\frac{7 x + 69}{30} + \frac{3 \cdot 15}{2 \cdot 15} < 0$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $15$ .

$\frac{7 x + 69}{30} + \frac{3 \cdot 15}{30} < 0$

Этап 3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 x + 69 + 3 \cdot 15}{30} < 0$

Этап 3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $3$ на $15$ .

$\frac{7 x + 69 + 45}{30} < 0$

Этап 3.9.2

Добавим $69$ и $45$ .

$\frac{7 x + 114}{30} < 0$

Этап 4

Умножим обе части на $30$ .

$\frac{7 x + 114}{30} \cdot 30 < 0 \cdot 30$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x + 114}{30} \cdot 30 < 0 \cdot 30$

Этап 5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$7 x + 114 < 0 \cdot 30$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $0$ на $30$ .

$7 x + 114 < 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $114$ из обеих частей неравенства.

$7 x < - 114$

Этап 6.2

Разделим каждый член $7 x < - 114$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $7 x < - 114$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} < \frac{- 114}{7}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} < \frac{- 114}{7}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 114}{7}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x < - \frac{114}{7}$

Этап 7

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - \frac{114}{7})$

Этап 8