Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - 12 > - 2 x^{2} - 16 x$

Этап 1

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$- 2 x^{2} - 16 x < x^{2} - 12$

Этап 2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$- 2 x^{2} - 16 x - x^{2} < - 12$

Этап 2.2

Вычтем $x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 16 x < - 12$

Этап 3

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- 3 x^{2} - 16 x = - 12$

Этап 4

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$- 3 x^{2} - 16 x + 12 = 0$

Этап 5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2} - 16 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) - 16 x + 12 = 0$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 16 x$ .

$- (3 x^{2}) - (16 x) + 12 = 0$

Этап 5.1.3

Перепишем $12$ в виде $- 1 (- 12)$ .

$- (3 x^{2}) - (16 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Этап 5.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (16 x)$ .

$- (3 x^{2} + 16 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Этап 5.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} + 16 x) - 1 (- 12)$ .

$- (3 x^{2} + 16 x - 12) = 0$

Этап 5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ , а сумма — $b = 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Вынесем множитель $16$ из $16 x$ .

$- (3 x^{2} + 16 (x) - 12) = 0$

Этап 5.2.1.1.2

Запишем $16$ как $- 2$ плюс $18$

$- (3 x^{2} + (- 2 + 18) x - 12) = 0$

Этап 5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (3 x^{2} - 2 x + 18 x - 12) = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((3 x^{2} - 2 x) + 18 x - 12) = 0$

Этап 5.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (x (3 x - 2) + 6 (3 x - 2)) = 0$

Этап 5.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 2$ .

$- ((3 x - 2) (x + 6)) = 0$

Этап 5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 x - 2) (x + 6) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 7

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Этап 7.2

Решим $3 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 2$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Этап 8

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 x - 2) (x + 6) = 0$ верно.

$x = \frac{2}{3}, - 6$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 6$

$- 6 < x < \frac{2}{3}$

$x > \frac{2}{3}$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

${(- 8)}^{2} - 12 > - 2 {(- 8)}^{2} - 16 \cdot - 8$

Этап 11.1.3

Левая часть $52$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 6 < x < \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 6 < x < \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} - 12 > - 2 {(0)}^{2} - 16 \cdot 0$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 12$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

${(3)}^{2} - 12 > - 2 {(3)}^{2} - 16 \cdot 3$

Этап 11.3.3

Левая часть $- 3$ больше правой части $- 66$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 6$ Истина

$- 6 < x < \frac{2}{3}$ Ложь

$x > \frac{2}{3}$ Истина

$x < - 6$ Истина

$- 6 < x < \frac{2}{3}$ Ложь

$x > \frac{2}{3}$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 6$ или $x > \frac{2}{3}$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 6) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Этап 14