Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + 4 x - 32 < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

Этап 2

Разложим $x^{2} + 4 x - 32$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 32$ , а сумма — $4$ .

$- 4, 8$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 8) = 0$ верно.

$x = 4, - 8$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 8$

$- 8 < x < 4$

$x > 4$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

${(- 10)}^{2} + 4 (- 10) - 32 < 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $28$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $- 8 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $- 8 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} + 4 (0) - 32 < 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $- 32$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{2} + 4 (6) - 32 < 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $28$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 8$ Ложь

$- 8 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < - 8$ Ложь

$- 8 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 8 < x < 4$

Этап 10

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 8, 4)$

Этап 11