Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} - 1}{x} < 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Этап 2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 1$

Этап 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = 1, - 1$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 0, 1, - 1$

Этап 8

Найдем область определения $\frac{x^{2} - 1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - 1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 8.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 1}{- 4} < 0$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 3.75$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.5$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $- 0.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 0.5)}^{2} - 1}{- 0.5} < 0$

Этап 10.2.3

Левая часть $1.5$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0.5)}^{2} - 1}{0.5} < 0$

Этап 10.3.3

Левая часть $- 1.5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.4

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 10.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{4} < 0$

Этап 10.4.3

Левая часть $3.75$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 1$ или $0 < x < 1$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$

Этап 13