Основы мат. анализа Примеры

$| 2 x^{2} + 7 x - 15 | < 10$

Этап 1

Запишем $| 2 x^{2} + 7 x - 15 | < 10$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$2 x^{2} + 7 x - 15 \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$2 x^{2} + 7 (x) - 15 = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Запишем $7$ как $- 3$ плюс $10$

$2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15 = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15 = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15 = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3) = 0$

Этап 1.2.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x + 5) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 1.2.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 1.2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 1.2.5

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 3) (x + 5) = 0$ верно.

$x = \frac{3}{2}, - 5$

Этап 1.2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Этап 1.2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 1.2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 \geq 0$

Этап 1.2.8.1.3

Левая часть $57$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.2.8.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.2.8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 \geq 0$

Этап 1.2.8.2.3

Левая часть $- 15$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.2.8.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 1.2.8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$2 {(4)}^{2} + 7 (4) - 15 \geq 0$

Этап 1.2.8.3.3

Левая часть $45$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Ложь

$x > \frac{3}{2}$ Истина

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Ложь

$x > \frac{3}{2}$ Истина

Этап 1.2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 5$ или $x \geq \frac{3}{2}$

Этап 1.3

В части, где $2 x^{2} + 7 x - 15$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$2 x^{2} + 7 x - 15 < 0$

Этап 1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

Этап 1.5.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$2 x^{2} + 7 (x) - 15 = 0$

Этап 1.5.2.1.2

Запишем $7$ как $- 3$ плюс $10$

$2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15 = 0$

Этап 1.5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15 = 0$

Этап 1.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15 = 0$

Этап 1.5.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3) = 0$

Этап 1.5.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x + 5) = 0$

Этап 1.5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 1.5.4

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 1.5.4.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 1.5.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 1.5.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 1.5.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 1.5.5

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 1.5.5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 1.5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 3) (x + 5) = 0$ верно.

$x = \frac{3}{2}, - 5$

Этап 1.5.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Этап 1.5.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 1.5.8.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 < 0$

Этап 1.5.8.1.3

Левая часть $57$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.5.8.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.5.8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 < 0$

Этап 1.5.8.2.3

Левая часть $- 15$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.5.8.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 1.5.8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$2 {(4)}^{2} + 7 (4) - 15 < 0$

Этап 1.5.8.3.3

Левая часть $45$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.5.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Истина

$x > \frac{3}{2}$ Ложь

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Истина

$x > \frac{3}{2}$ Ложь

Этап 1.5.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

Этап 1.6

В части, где $2 x^{2} + 7 x - 15$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $- (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - (2 x^{2}) - (7 x) - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Этап 1.8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - (7 x) - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Этап 1.8.2.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - 7 x - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Этап 1.8.2.3

Умножим $- 1$ на $- 15$ .

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Этап 2

Решим $2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$ , когда $x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вычтем $10$ из обеих частей неравенства.

$2 x^{2} + 7 x - 15 - 10 < 0$

Этап 2.1.1.2

Вычтем $10$ из $- 15$ .

$2 x^{2} + 7 x - 25 < 0$

Этап 2.1.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{2} + 7 x - 25 = 0$

Этап 2.1.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.1.4

Подставим значения $a = 2$ , $b = 7$ и $c = - 25$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 25)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.5.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 25$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.5.1.3

Добавим $49$ и $200$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

Этап 2.1.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.6.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 25$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.6.1.3

Добавим $49$ и $200$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

Этап 2.1.6.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{249}}{4}$

Этап 2.1.6.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{249}}{4}$

Этап 2.1.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{249}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{249})}{4}$

Этап 2.1.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{249})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{249})}{4}$

Этап 2.1.6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Этап 2.1.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.7.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 25$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.7.1.3

Добавим $49$ и $200$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

Этап 2.1.7.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{249}}{4}$

Этап 2.1.7.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{249}}{4}$

Этап 2.1.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{249}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{249})}{4}$

Этап 2.1.7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (7) - (\sqrt{249})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{249})}{4}$

Этап 2.1.7.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

Этап 2.1.8

Объединим решения.

$x = - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

Этап 2.1.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Этап 2.1.10

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 2.1.10.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 < 10$

Этап 2.1.10.1.3

Левая часть $57$ не меньше правой части $10$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.1.10.2

Проверим значение на интервале $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.1.10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 < 10$

Этап 2.1.10.2.3

Левая часть $- 15$ меньше правой части $10$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.1.10.3

Проверим значение на интервале $x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.3.1

Выберем значение на интервале $x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 2.1.10.3.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$2 {(5)}^{2} + 7 (5) - 15 < 10$

Этап 2.1.10.3.3

Левая часть $70$ не меньше правой части $10$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.1.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ Ложь

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Истина

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Ложь

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ Ложь

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Истина

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Ложь

Этап 2.1.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Этап 2.2

Найдем пересечение $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ и $x \leq - 5 o r + x \geq \frac{3}{2}$ .

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x \leq - 5$ или $\frac{3}{2} \leq x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Этап 3

Решим $- 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10$ , когда $- 5 < x < \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вычтем $10$ из обеих частей неравенства.

$- 2 x^{2} - 7 x + 15 - 10 < 0$

Этап 3.1.1.2

Вычтем $10$ из $15$ .

$- 2 x^{2} - 7 x + 5 < 0$

Этап 3.1.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- 2 x^{2} - 7 x + 5 = 0$

Этап 3.1.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.1.4

Подставим значения $a = - 2$ , $b = - 7$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 5)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Этап 3.1.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Этап 3.1.5.1.2.2

Умножим $8$ на $5$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

Этап 3.1.5.1.3

Добавим $49$ и $40$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

Этап 3.1.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

Этап 3.1.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

Этап 3.1.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Этап 3.1.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Этап 3.1.6.1.2.2

Умножим $8$ на $5$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

Этап 3.1.6.1.3

Добавим $49$ и $40$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

Этап 3.1.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

Этап 3.1.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

Этап 3.1.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$

Этап 3.1.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Этап 3.1.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Этап 3.1.7.1.2.2

Умножим $8$ на $5$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

Этап 3.1.7.1.3

Добавим $49$ и $40$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

Этап 3.1.7.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

Этап 3.1.7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

Этап 3.1.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Этап 3.1.8

Объединим решения.

$x = - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}, - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Этап 3.1.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Этап 3.1.10

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 7$

Этап 3.1.10.1.2

Заменим $x$ на $- 7$ в исходном неравенстве.

$- 2 {(- 7)}^{2} - 7 \cdot - 7 + 15 < 10$

Этап 3.1.10.1.3

Левая часть $- 34$ меньше правой части $10$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.1.10.2

Проверим значение на интервале $- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 3.1.10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- 2 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 + 15 < 10$

Этап 3.1.10.2.3

Левая часть $15$ не меньше правой части $10$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.1.10.3

Проверим значение на интервале $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.3.1

Выберем значение на интервале $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 3.1.10.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$- 2 {(3)}^{2} - 7 \cdot 3 + 15 < 10$

Этап 3.1.10.3.3

Левая часть $- 24$ меньше правой части $10$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.1.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ Истина

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Ложь

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Истина

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ Истина

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Ложь

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Истина

Этап 3.1.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ или $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4} or x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ и $- 5 < x < \frac{3}{2}$ .

$- 5 < x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ или $- \frac{7 - \sqrt{89}}{4} < x < \frac{3}{2}$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ или $- \frac{7 - \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Этап 5

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \frac{7 + \sqrt{249}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}) \cup (- \frac{7 - \sqrt{89}}{4}, - \frac{7 - \sqrt{249}}{4})$

Этап 6