Основы мат. анализа Примеры

$- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{7}{2} x - 5 < 0$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7}{2} x - 5 < 0$

Этап 1.2

Объединим $x$ и $\frac{7}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{x \cdot 7}{2} - 5 < 0$

Этап 1.3

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{2} - 5 < 0$

Этап 2

Каждый член в $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{2} - 5 < 0$ умножим на $2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{2} - 5 < 0$ на $2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{2}$ в числитель.

$\frac{- x^{2}}{2} \cdot 2 - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- x^{2}}{2} \cdot 2 - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Этап 2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- x^{2} - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7 x}{2}$ в числитель.

$- x^{2} + \frac{- 7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- x^{2} + \frac{- 7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- x^{2} - 7 x - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Этап 2.2.1.3

Умножим $- 5$ на $2$ .

$- x^{2} - 7 x - 10 < 0 \cdot 2$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $0$ на $2$ .

$- x^{2} - 7 x - 10 < 0$

Этап 3

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- x^{2} - 7 x - 10 = 0$

Этап 4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} - 7 x - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 7 x - 10 = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 7 x$ .

$- (x^{2}) - (7 x) - 10 = 0$

Этап 4.1.3

Перепишем $- 10$ в виде $- 1 (10)$ .

$- (x^{2}) - (7 x) - 1 \cdot 10 = 0$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (7 x)$ .

$- (x^{2} + 7 x) - 1 \cdot 10 = 0$

Этап 4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + 7 x) - 1 (10)$ .

$- (x^{2} + 7 x + 10) = 0$

Этап 4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим $x^{2} + 7 x + 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $10$ , а сумма — $7$ .

$2, 5$

Этап 4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x + 2) (x + 5)) = 0$

Этап 4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x + 2) (x + 5) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 7

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x + 2) (x + 5) = 0$ верно.

$x = - 2, - 5$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 2$

$x > - 2$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$- \frac{1}{2} \cdot {(- 8)}^{2} - \frac{7}{2} \cdot - 8 - 5 < 0$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 9$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$- \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} - \frac{7}{2} \cdot - 4 - 5 < 0$

Этап 10.2.3

Левая часть $1$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{2} - \frac{7}{2} \cdot 0 - 5 < 0$

Этап 10.3.3

Левая часть $- 5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < - 2$ Ложь

$x > - 2$ Истина

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < - 2$ Ложь

$x > - 2$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 5$ или $x > - 2$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 5) \cup (- 2, \infty)$

Этап 13