Основы мат. анализа Примеры

$| x - \frac{1}{15} | < \frac{1}{5}$

Этап 1

Запишем $| x - \frac{1}{15} | < \frac{1}{5}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x - \frac{1}{15} \geq 0$

Этап 1.2

Добавим $\frac{1}{15}$ к обеим частям неравенства.

$x \geq \frac{1}{15}$

Этап 1.3

В части, где $x - \frac{1}{15}$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x - \frac{1}{15} < \frac{1}{5}$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x - \frac{1}{15} < 0$

Этап 1.5

Добавим $\frac{1}{15}$ к обеим частям неравенства.

$x < \frac{1}{15}$

Этап 1.6

В части, где $x - \frac{1}{15}$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (x - \frac{1}{15}) < \frac{1}{5}$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x - \frac{1}{15} < \frac{1}{5} & x \geq \frac{1}{15} \\ - (x - \frac{1}{15}) < \frac{1}{5} & x < \frac{1}{15} \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $- (x - \frac{1}{15}) < \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} x - \frac{1}{15} < \frac{1}{5} & x \geq \frac{1}{15} \\ - x - - \frac{1}{15} < \frac{1}{5} & x < \frac{1}{15} \end{cases}$

Этап 1.8.2

Умножим $- - \frac{1}{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

${\begin{cases} x - \frac{1}{15} < \frac{1}{5} & x \geq \frac{1}{15} \\ - x + 1 (\frac{1}{15}) < \frac{1}{5} & x < \frac{1}{15} \end{cases}$

Этап 1.8.2.2

Умножим $\frac{1}{15}$ на $1$ .

${\begin{cases} x - \frac{1}{15} < \frac{1}{5} & x \geq \frac{1}{15} \\ - x + \frac{1}{15} < \frac{1}{5} & x < \frac{1}{15} \end{cases}$

Этап 2

Решим $x - \frac{1}{15} < \frac{1}{5}$ , когда $x \geq \frac{1}{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Добавим $\frac{1}{15}$ к обеим частям неравенства.

$x < \frac{1}{5} + \frac{1}{15}$

Этап 2.1.2

Чтобы записать $\frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x < \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{15}$

Этап 2.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$x < \frac{3}{5 \cdot 3} + \frac{1}{15}$

Этап 2.1.3.2

Умножим $5$ на $3$ .

$x < \frac{3}{15} + \frac{1}{15}$

Этап 2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x < \frac{3 + 1}{15}$

Этап 2.1.5

Добавим $3$ и $1$ .

$x < \frac{4}{15}$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x < \frac{4}{15}$ и $x \geq \frac{1}{15}$ .

$\frac{1}{15} \leq x < \frac{4}{15}$

Этап 3

Решим $- x + \frac{1}{15} < \frac{1}{5}$ , когда $x < \frac{1}{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- x + \frac{1}{15} < \frac{1}{5}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вычтем $\frac{1}{15}$ из обеих частей неравенства.

$- x < \frac{1}{5} - \frac{1}{15}$

Этап 3.1.1.2

Чтобы записать $\frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- x < \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{15}$

Этап 3.1.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- x < \frac{3}{5 \cdot 3} - \frac{1}{15}$

Этап 3.1.1.3.2

Умножим $5$ на $3$ .

$- x < \frac{3}{15} - \frac{1}{15}$

Этап 3.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- x < \frac{3 - 1}{15}$

Этап 3.1.1.5

Вычтем $1$ из $3$ .

$- x < \frac{2}{15}$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $- x < \frac{2}{15}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $- x < \frac{2}{15}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\frac{2}{15}}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{\frac{2}{15}}{- 1}$

Этап 3.1.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{\frac{2}{15}}{- 1}$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{2}{15}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \frac{2}{15}$

Этап 3.1.2.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{2}{15}$ в виде $- \frac{2}{15}$ .

$x > - \frac{2}{15}$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x > - \frac{2}{15}$ и $x < \frac{1}{15}$ .

$- \frac{2}{15} < x < \frac{1}{15}$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$- \frac{2}{15} < x < \frac{4}{15}$

Этап 5

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \frac{2}{15}, \frac{4}{15})$

Этап 6