Основы мат. анализа Примеры

$f (n) = 2 {(n - 2)}^{3}$

Этап 1

Запишем $f (n) = 2 {(n - 2)}^{3}$ в виде уравнения.

$y = 2 {(n - 2)}^{3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$n = 2 {(y - 2)}^{3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 {(y - 2)}^{3} = n$ .

$2 {(y - 2)}^{3} = n$

Этап 3.2

Разделим каждый член $2 {(y - 2)}^{3} = n$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $2 {(y - 2)}^{3} = n$ на $2$ .

$\frac{2 {(y - 2)}^{3}}{2} = \frac{n}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 {(y - 2)}^{3}}{2} = \frac{n}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим ${(y - 2)}^{3}$ на $1$ .

${(y - 2)}^{3} = \frac{n}{2}$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y - 2 = \sqrt[3]{\frac{n}{2}}$

Этап 3.4

Упростим $\sqrt[3]{\frac{n}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{n}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{2}}$

Этап 3.4.2

Умножим $\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.4.3.2

Возведем $\sqrt[3]{2}$ в степень $1$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Этап 3.4.3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2}$ в виде $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.4.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.4.3.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Этап 3.4.3.5.5

Найдем экспоненту.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Этап 3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Этап 3.4.4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n} \sqrt[3]{4}}{2}$

Этап 3.4.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{n \cdot 4}}{2}$

Этап 3.4.5.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{n \cdot 4}}{2}$ .

$y - 2 = \frac{\sqrt[3]{4 n}}{2}$

Этап 3.5

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (n)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (n) = \frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (n) = \frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2$ обратной к $f (n) = 2 {(n - 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (n)) = n$ и $f (f^{- 1} (n)) = n$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (n))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (n))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 {(n - 2)}^{3})}}{2} + 2$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Умножим $4$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{\sqrt[3]{8 {(n - 2)}^{3}}}{2} + 2$

Этап 5.2.3.1.2

Перепишем $8 {(n - 2)}^{3}$ в виде ${(2 (n - 2))}^{3}$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 (n - 2))}^{3}}}{2} + 2$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 (n - 2)}{2} + 2$

Этап 5.2.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 n + 2 \cdot - 2}{2} + 2$

Этап 5.2.3.1.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 n - 4}{2} + 2$

Этап 5.2.3.1.6

Вынесем множитель $2$ из $2 n - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 n$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 (n) - 4}{2} + 2$

Этап 5.2.3.1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 n + 2 \cdot - 2}{2} + 2$

Этап 5.2.3.1.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 n + 2 \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 (n - 2)}{2} + 2$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = \frac{2 (n - 2)}{2} + 2$

Этап 5.2.3.2.2

Разделим $n - 2$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = n - 2 + 2$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $n - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = n + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $n$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 {(n - 2)}^{3}) = n$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (n))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (n))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 {((\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) - 2)}^{3}$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в $(\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 0)}^{3}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2}$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2})}^{3}$

Этап 5.3.4

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{{\sqrt[3]{4 n}}^{3}}{2^{3}})$

Этап 5.3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{4 n}}^{3}$ в виде $4 n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4 n}$ в виде ${(4 n)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{{({(4 n)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Этап 5.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{{(4 n)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Этап 5.3.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{{(4 n)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Этап 5.3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{{(4 n)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Этап 5.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 n}{2^{3}})$

Этап 5.3.5.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 n}{2^{3}})$

Этап 5.3.6

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 n}{8})$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 n}{2 (4)})$

Этап 5.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = 2 (\frac{4 n}{2 \cdot 4})$

Этап 5.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = \frac{4 n}{4}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = \frac{4 n}{4}$

Этап 5.3.8.2

Разделим $n$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2) = n$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (n)) = n$ и $f (f^{- 1} (n)) = n$ , то $f^{- 1} (n) = \frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2$ — обратная к $f (n) = 2 {(n - 2)}^{3}$ .

$f^{- 1} (n) = \frac{\sqrt[3]{4 n}}{2} + 2$