Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = {(x^{5} + 1)}^{3}$

Этап 1

Запишем $f (x) = {(x^{5} + 1)}^{3}$ в виде уравнения.

$y = {(x^{5} + 1)}^{3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = {(y^{5} + 1)}^{3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде ${(y^{5} + 1)}^{3} = x$ .

${(y^{5} + 1)}^{3} = x$

Этап 3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y^{5} + 1 = \sqrt[3]{x}$

Этап 3.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y^{5} = \sqrt[3]{x} - 1$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}$ обратной к $f (x) = {(x^{5} + 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3}) = \sqrt[5]{\sqrt[3]{{(x^{5} + 1)}^{3}} - 1}$

Этап 5.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3}) = \sqrt[5]{\sqrt[3]{{(x^{5} + 1)}^{3}} - 1}$

Этап 5.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3}) = \sqrt[5]{x^{5} + 1 - 1}$

Этап 5.2.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3}) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Этап 5.2.6

Добавим $x^{5}$ и $0$ .

$f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Этап 5.2.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} ({(x^{5} + 1)}^{3}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {({(\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1})}^{5} + 1)}^{3}$

Этап 5.3.3

Перепишем ${\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}}^{5}$ в виде $\sqrt[3]{x} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}$ в виде ${(\sqrt[3]{x} - 1)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {({({(\sqrt[3]{x} - 1)}^{\frac{1}{5}})}^{5} + 1)}^{3}$

Этап 5.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {({(\sqrt[3]{x} - 1)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 1)}^{3}$

Этап 5.3.3.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {({(\sqrt[3]{x} - 1)}^{\frac{5}{5}} + 1)}^{3}$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {({(\sqrt[3]{x} - 1)}^{\frac{5}{5}} + 1)}^{3}$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {((\sqrt[3]{x} - 1) + 1)}^{3}$

Этап 5.3.3.5

Упростим.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {(\sqrt[3]{x} - 1 + 1)}^{3}$

Этап 5.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим противоположные члены в $\sqrt[3]{x} - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {(\sqrt[3]{x} + 0)}^{3}$

Этап 5.3.4.1.2

Добавим $\sqrt[3]{x}$ и $0$ .

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Этап 5.3.4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Этап 5.3.4.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = x^{\frac{3}{3}}$

Этап 5.3.4.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = x^{\frac{3}{3}}$

Этап 5.3.4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = x$

Этап 5.3.4.2.5

Упростим.

$f (\sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}$ — обратная к $f (x) = {(x^{5} + 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{\sqrt[3]{x} - 1}$