Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} = x$ .

$\frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$7 y^{2}, 1$

Этап 3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$7 y^{2}$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} = x$ умножим на $7 y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} = x$ на $7 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} (7 y^{2}) = x (7 y^{2})$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 \frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} y^{2} = x (7 y^{2})$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7 y^{2}$ .

$7 \frac{y^{2} - 6}{7 (y^{2})} y^{2} = x (7 y^{2})$

Этап 3.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$7 \frac{y^{2} - 6}{7 y^{2}} y^{2} = x (7 y^{2})$

Этап 3.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2} - 6}{y^{2}} y^{2} = x (7 y^{2})$

Этап 3.3.2.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} - 6}{y^{2}} y^{2} = x (7 y^{2})$

Этап 3.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} - 6 = x (7 y^{2})$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y^{2} - 6 = 7 x y^{2}$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $7 x y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 6 - 7 x y^{2} = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} - 7 x y^{2} = 6$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} - 7 x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим на $1$ .

$y^{2} \cdot 1 - 7 x y^{2} = 6$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 7 x y^{2}$ .

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 7 x) = 6$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 7 x)$ .

$y^{2} (1 - 7 x) = 6$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y^{2} (1 - 7 x) = 6$ на $1 - 7 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y^{2} (1 - 7 x) = 6$ на $1 - 7 x$ .

$\frac{y^{2} (1 - 7 x)}{1 - 7 x} = \frac{6}{1 - 7 x}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $1 - 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (1 - 7 x)}{1 - 7 x} = \frac{6}{1 - 7 x}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{6}{1 - 7 x}$

Этап 3.4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{6}{1 - 7 x}}$

Этап 3.4.6

Упростим $\pm \sqrt{\frac{6}{1 - 7 x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Перепишем $\sqrt{\frac{6}{1 - 7 x}}$ в виде $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1 - 7 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1 - 7 x}}$

Этап 3.4.6.2

Умножим $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1 - 7 x}}$ на $\frac{\sqrt{1 - 7 x}}{\sqrt{1 - 7 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1 - 7 x}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 7 x}}{\sqrt{1 - 7 x}}$

Этап 3.4.6.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1 - 7 x}}$ на $\frac{\sqrt{1 - 7 x}}{\sqrt{1 - 7 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{\sqrt{1 - 7 x} \sqrt{1 - 7 x}}$

Этап 3.4.6.3.2

Возведем $\sqrt{1 - 7 x}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{\sqrt{1 - 7 x}}^{1} \sqrt{1 - 7 x}}$

Этап 3.4.6.3.3

Возведем $\sqrt{1 - 7 x}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{\sqrt{1 - 7 x}}^{1} {\sqrt{1 - 7 x}}^{1}}$

Этап 3.4.6.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{\sqrt{1 - 7 x}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.6.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{\sqrt{1 - 7 x}}^{2}}$

Этап 3.4.6.3.6

Перепишем ${\sqrt{1 - 7 x}}^{2}$ в виде $1 - 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - 7 x}$ в виде ${(1 - 7 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{({(1 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.6.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{(1 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.6.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{(1 - 7 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.6.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{(1 - 7 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.6.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{{(1 - 7 x)}^{1}}$

Этап 3.4.6.3.6.5

Упростим.

$y = \pm \frac{\sqrt{6} \sqrt{1 - 7 x}}{1 - 7 x}$

Этап 3.4.6.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

Этап 3.4.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

Этап 3.4.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

Этап 3.4.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ обратной к $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{1}{7})$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{6 (1 - 7 x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$6 (1 - 7 x) \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $6 (1 - 7 x) \geq 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Разделим каждый член $6 (1 - 7 x) \geq 0$ на $6$ .

$\frac{6 (1 - 7 x)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (1 - 7 x)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Этап 5.3.2.1.2.1.2

Разделим $1 - 7 x$ на $1$ .

$1 - 7 x \geq \frac{0}{6}$

Этап 5.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $6$ .

$1 - 7 x \geq 0$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- 7 x \geq - 1$

Этап 5.3.2.3

Разделим каждый член $- 7 x \geq - 1$ на $- 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Разделим каждый член $- 7 x \geq - 1$ на $- 7$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 7 x}{- 7} \leq \frac{- 1}{- 7}$

Этап 5.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 x}{- 7} \leq \frac{- 1}{- 7}$

Этап 5.3.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 7}$

Этап 5.3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x \leq \frac{1}{7}$

Этап 5.3.3

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 - 7 x = 0$

Этап 5.3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 7 x = - 1$

Этап 5.3.4.2

Разделим каждый член $- 7 x = - 1$ на $- 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Разделим каждый член $- 7 x = - 1$ на $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 1}{- 7}$

Этап 5.3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 1}{- 7}$

Этап 5.3.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 7}$

Этап 5.3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{7}$

Этап 5.3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{1}{7})$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$7 x^{2} = 0$

Этап 5.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разделим каждый член $7 x^{2} = 0$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Разделим каждый член $7 x^{2} = 0$ на $7$ .

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

Этап 5.4.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

Этап 5.4.2.1.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{7}$

Этап 5.4.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.3.1

Разделим $0$ на $7$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.4.2.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ , представляет область определения $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$ — обратная к $f (x) = \frac{x^{2} - 6}{7 x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}, - \frac{\sqrt{6 (1 - 7 x)}}{1 - 7 x}$

Этап 6