Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{2} - x - 3$ , $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 1

Вычислим числитель в $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} - (x + h) - 3$

Этап 1.2

Заменим обозначения функций в $f (x + h) - f (x)$ фактическими функциями.

$(2 {(x + h)}^{2} - (x + h) - 3) - (2 x^{2} - x - 3)$

Этап 1.3

Упростим $(2 {(x + h)}^{2} - (x + h) - 3) - (2 x^{2} - x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$2 ((x + h) (x + h)) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Этап 1.3.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (x + h) + h (x + h)) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Этап 1.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Этап 1.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Этап 1.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Этап 1.3.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Этап 1.3.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Этап 1.3.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Этап 1.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Этап 1.3.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Этап 1.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

Этап 1.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - (2 x^{2}) - - x - - 3$

Этап 1.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.8.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} - - x - - 3$

Этап 1.3.1.8.2

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.8.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} + 1 x - - 3$

Этап 1.3.1.8.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} + x - - 3$

Этап 1.3.1.8.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} + x + 3$

Этап 1.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} + x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 + 0 + x + 3$

Этап 1.3.2.2

Добавим $4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3$ и $0$ .

$4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 + x + 3$

Этап 1.3.2.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$4 h x + 2 h^{2} - h - 3 + 0 + 3$

Этап 1.3.2.4

Добавим $4 h x + 2 h^{2} - h - 3$ и $0$ .

$4 h x + 2 h^{2} - h - 3 + 3$

Этап 1.3.2.5

Добавим $- 3$ и $3$ .

$4 h x + 2 h^{2} - h + 0$

Этап 1.3.2.6

Добавим $4 h x + 2 h^{2} - h$ и $0$ .

$4 h x + 2 h^{2} - h$

Этап 2

Перепишем $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ .

$\frac{4 h x + 2 h^{2} - h}{h}$

Этап 3

Упростим $\frac{4 h x + 2 h^{2} - h}{h}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $h$ из $4 h x + 2 h^{2} - h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $h$ из $4 h x$ .

$\frac{h (4 x) + 2 h^{2} - h}{h}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $h$ из $2 h^{2}$ .

$\frac{h (4 x) + h (2 h) - h}{h}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $h$ из $- h$ .

$\frac{h (4 x) + h (2 h) + h \cdot - 1}{h}$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $h$ из $h (4 x) + h (2 h)$ .

$\frac{h (4 x + 2 h) + h \cdot - 1}{h}$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $h$ из $h (4 x + 2 h) + h \cdot - 1$ .

$\frac{h (4 x + 2 h - 1)}{h}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (4 x + 2 h - 1)}{h}$

Этап 3.2.2

Разделим $4 x + 2 h - 1$ на $1$ .

$4 x + 2 h - 1$

Этап 3.3

Изменим порядок $4 x$ и $2 h$ .

$2 h + 4 x - 1$