Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{10} + 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 x^{3} + 321 x^{2} + 153 x - 108$

Этап 1

Чтобы найти возможное количество положительных корней, обратим внимание на знаки коэффициентов и подсчитаем, сколько раз коэффициенты меняют знак.

$f (x) = 4 x^{10} + 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 x^{3} + 321 x^{2} + 153 x - 108$

Этап 2

Поскольку число перемен знака членов от высшего порядка до низшего равно $5$ , максимальное число положительных корней равно $5$ (правило знаков Декарта). Другие возможные количества отрицательных корней находятся путем вычитания пар корней (например, $(5 - 2)$ ).

Положительные корни: $5$ , $3$ , or $1$

Этап 3

Чтобы найти возможное количество отрицательных корней, заменим $x$ на $- x$ и снова сравним знаки.

$f (- x) = 4 {(- x)}^{10} + 20 {(- x)}^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = 4 ({(- 1)}^{10} x^{10}) + 20 {(- x)}^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.2

Возведем $- 1$ в степень $10$ .

$f (- x) = 4 (1 x^{10}) + 20 {(- x)}^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.3

Умножим $x^{10}$ на $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} + 20 {(- x)}^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.4

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} + 20 ({(- 1)}^{9} x^{9}) + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.5

Возведем $- 1$ в степень $9$ .

$f (- x) = 4 x^{10} + 20 (- x^{9}) + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.6

Умножим $- 1$ на $20$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.7

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 ({(- 1)}^{8} x^{8}) + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.8

Возведем $- 1$ в степень $8$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 (1 x^{8}) + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.9

Умножим $x^{8}$ на $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.10

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 ({(- 1)}^{7} x^{7}) + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.11

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 (- x^{7}) + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.12

Умножим $- 1$ на $127$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.13

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 ({(- 1)}^{6} x^{6}) - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.14

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 (1 x^{6}) - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.15

Умножим $x^{6}$ на $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.16

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 ({(- 1)}^{5} x^{5}) + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.17

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 (- x^{5}) + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.18

Умножим $- 1$ на $- 533$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.19

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.20

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 (1 x^{4}) - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.21

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.22

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.23

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 (- x^{3}) + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.24

Умножим $- 1$ на $- 487$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.25

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 153 (- x) - 108$

Этап 4.26

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 (1 x^{2}) + 153 (- x) - 108$

Этап 4.27

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 x^{2} + 153 (- x) - 108$

Этап 4.28

Умножим $- 1$ на $153$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 x^{2} - 153 x - 108$

Этап 5

Поскольку число перемен знака членов от высшего порядка до низшего равно $5$ , максимальное число отрицательных корней равно $5$ (правило знаков Декарта). Другие возможные количества отрицательных корней находятся путем вычитания пар корней (например, $5 - 2$ ).

Отрицательные корни: $5$ , $3$ , or $1$

Этап 6

Возможное количество положительных корней равно $5$ , $3$ , or $1$ , а возможное количество отрицательных корней ― $5$ , $3$ , or $1$ .

Положительные корни: $5$ , $3$ , or $1$

Отрицательные корни: $5$ , $3$ , or $1$