Основы мат. анализа Примеры

$\frac{6 x}{7 x^{2} - 6 x - 16} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 x + 2}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 7 \cdot - 16 = - 112$ , а сумма — $b = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6 x$ .

$\frac{6 x}{7 x^{2} - 6 (x) - 16} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 x + 2}$

Этап 1.1.1.2

Запишем $- 6$ как $8$ плюс $- 14$

$\frac{6 x}{7 x^{2} + (8 - 14) x - 16} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 x + 2}$

Этап 1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x}{7 x^{2} + 8 x - 14 x - 16} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 x + 2}$

Этап 1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{6 x}{(7 x^{2} + 8 x) - 14 x - 16} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 x + 2}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{6 x}{x (7 x + 8) - 2 (7 x + 8)} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 x + 2}$

Этап 1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $7 x + 8$ .

$\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 x + 2}$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 7 \cdot 2 = 14$ , а сумма — $b = - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $- 15$ из $- 15 x$ .

$\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 15 (x) + 2}$

Этап 1.2.1.2

Запишем $- 15$ как $- 1$ плюс $- 14$

$\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)} - \frac{5 x}{7 x^{2} + (- 1 - 14) x + 2}$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)} - \frac{5 x}{7 x^{2} - 1 x - 14 x + 2}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)} - \frac{5 x}{(7 x^{2} - 1 x) - 14 x + 2}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)} - \frac{5 x}{x (7 x - 1) - 2 (7 x - 1)}$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $7 x - 1$ .

$\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)} - \frac{5 x}{(7 x - 1) (x - 2)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7 x - 1}{7 x - 1}$ .

$\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)} \cdot \frac{7 x - 1}{7 x - 1} - \frac{5 x}{(7 x - 1) (x - 2)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{5 x}{(7 x - 1) (x - 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7 x + 8}{7 x + 8}$ .

$\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)} \cdot \frac{7 x - 1}{7 x - 1} - \frac{5 x}{(7 x - 1) (x - 2)} \cdot \frac{7 x + 8}{7 x + 8}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(7 x + 8) (x - 2) (7 x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{6 x}{(7 x + 8) (x - 2)}$ на $\frac{7 x - 1}{7 x - 1}$ .

$\frac{6 x (7 x - 1)}{(7 x + 8) (x - 2) (7 x - 1)} - \frac{5 x}{(7 x - 1) (x - 2)} \cdot \frac{7 x + 8}{7 x + 8}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{5 x}{(7 x - 1) (x - 2)}$ на $\frac{7 x + 8}{7 x + 8}$ .

$\frac{6 x (7 x - 1)}{(7 x + 8) (x - 2) (7 x - 1)} - \frac{5 x (7 x + 8)}{(7 x - 1) (x - 2) (7 x + 8)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(7 x + 8) (x - 2) (7 x - 1)$ .

$\frac{6 x (7 x - 1)}{(7 x + 8) (7 x - 1) (x - 2)} - \frac{5 x (7 x + 8)}{(7 x - 1) (x - 2) (7 x + 8)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(7 x - 1) (x - 2) (7 x + 8)$ .

$\frac{6 x (7 x - 1)}{(7 x + 8) (7 x - 1) (x - 2)} - \frac{5 x (7 x + 8)}{(7 x + 8) (7 x - 1) (x - 2)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 x (7 x - 1) - 5 x (7 x + 8)}{(7 x + 8) (7 x - 1) (x - 2)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x (7 x - 1) - 5 x (7 x + 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x (7 x - 1)$ .

$\frac{x (6 (7 x - 1)) - 5 x (7 x + 8)}{(7 x + 8) (7 x - 1) (x - 2)}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x (7 x + 8)$ .

$\frac{x (6 (7 x - 1)) + x (- 5 (7 x + 8))}{(7 x + 8) (7 x - 1) (x - 2)}$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (6 (7 x - 1)) + x (- 5 (7 x + 8))$ .

$\frac{x (6 (7 x - 1) - 5 (7 x + 8))}{(7 x + 8) (7 x - 1) (x - 2)}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (6 (7 x) + 6 \cdot - 1 - 5 (7 x + 8))}{(7 x + 8) (7 x - 1) (x - 2)}$

Этап 6.3

Умножим $7$ на $6$ .

$\frac{x (42 x + 6 \cdot - 1 - 5 (7 x + 8))}{(7 x + 8) (7 x - 1) (x - 2)}$

Этап 6.4

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{x (42 x - 6 - 5 (7 x + 8))}{(7 x + 8) (7 x - 1) (x - 2)}$

Этап 6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (42 x - 6 - 5 (7 x) - 5 \cdot 8)}{(7 x + 8) (7 x - 1) (x - 2)}$

Этап 6.6

Умножим $7$ на $- 5$ .

$\frac{x (42 x - 6 - 35 x - 5 \cdot 8)}{(7 x + 8) (7 x - 1) (x - 2)}$

Этап 6.7

Умножим $- 5$ на $8$ .

$\frac{x (42 x - 6 - 35 x - 40)}{(7 x + 8) (7 x - 1) (x - 2)}$

Этап 6.8

Вычтем $35 x$ из $42 x$ .

$\frac{x (7 x - 6 - 40)}{(7 x + 8) (7 x - 1) (x - 2)}$

Этап 6.9

Вычтем $40$ из $- 6$ .

$\frac{x (7 x - 46)}{(7 x + 8) (7 x - 1) (x - 2)}$